Todas as séries não estacionárias são conversíveis em séries estacionárias através da diferenciação

Todas as séries temporais não estacionárias podem ser convertidas em séries temporais estacionárias aplicando diferenciação? Além disso, como você decide a ordem da diferenciação a ser aplicada?

Você apenas diferencia os intervalos 1,2 ... n e executa o teste de raiz unitária de estacionário cada vez para ver se a série resultante é estacionária?

time-series stationarity

— Vencedor
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Respostas:

Não. Como um contra-exemplo, seja uma variável aleatória e permita que a série temporal tenha o valor no tempo . A diferença de no tempo é uma combinação linear $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (Eu) = \sum_{j = 0 0}^{k} W_{j} \exp ((Eu + j) X) = \exp (Eu X) \sum_{j = 0 0}^{k} W_{j} \exp (j X) = \exp (Eu X) Δ^{k} (0 0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

para os coeficientes (que podem ser calculados, mas cujos valores são irrelevantes para esta discussão). A menos que seja constante, os lados esquerdo e direito têm distribuições diferentes, provando que a diferença não é estacionária. Portanto, nenhuma quantidade de diferenciação tornará esta série temporal estacionária. $w_j$ $X$ $k^\text{th}$

— whuber
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Então, dada uma série temporal (linear), como você sabe se alguma vez pode ser diferenciada para formar uma série estacionária?

— 213 Victor Victor

Por favor, explique o que você quer dizer com uma série temporal "linear". Em geral, o processo de ajuste de um modelo de RA equivale a estimar a quantidade de diferenciação necessária para tornar a série estacionária.

— whuber

Obrigado ... deixe-me pensar sobre isso. Eu não sei o quanto eu não sei

— Victor

Isso parece ser uma conseqüência do fato de que a função exponencial é sua própria derivada, e isso imediatamente me sugere que uma série temporal pode ser estacionária por diferenciação repetida se e somente se a função "verdadeira" modelada for um polinômio ( ou, equivalentemente, sua expansão da série Taylor é finita).

— Zwol 17/11

@zwol Essa é uma boa visão - e é por isso que o contra-exemplo exponencial foi o primeiro a se lembrar - mas é apenas parte da história. Se a expectativa é uma função polinomial do tempo, uma diferenciação suficiente tornará estacionária a série temporal de primeira ordem : ou seja, os primeiros momentos das distribuições serão invariantes ao longo do tempo. No entanto, a diferenciação não tornará necessariamente momentos mais altos ou momentos multivariados.

— whuber

A resposta do whuber está correta; existem muitas séries temporais que não podem ser estacionárias por diferenciação. Não obstante, isso responda à sua pergunta em sentido estrito, também pode ser interessante notar que, na ampla classe de modelos ARIMA com ruído branco, a diferenciação pode transformá-los em modelos ARMA, e os últimos são (assintoticamente) estacionários quando as raízes remanescentes de o polinômio característico auto-regressivo está dentro do círculo unitário. Se você especificar uma distribuição inicial apropriada para a série observável igual à distribuição estacionária, obterá um processo de série temporal estritamente estacionário .

Portanto, como regra geral, não, nem todas as séries temporais são conversíveis em séries estacionárias por diferenciação. No entanto, se você restringir seu escopo à ampla classe de modelos de séries temporais na classe ARIMA com ruído branco e distribuição inicial adequadamente especificada (e outras raízes de RA dentro do círculo da unidade), sim, a diferenciação pode ser usada para obter estacionariedade.

— Restabelecer Monica
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+1 Indiscutivelmente, para algumas (muitas?) Aplicações, essa é uma resposta mais útil do que a puramente teórica que ofereci.

— whuber

Sim - às vezes acho que é uma questão de "Aqui está a resposta para sua pergunta, e agora aqui está a resposta para uma pergunta diferente que você também deveria ter feito".

— Reintegrar Monica