Dúvidas sobre a derivação das equações de regressão de processo gaussiana em um artigo

Estou lendo esta pré-impressão do artigo e estou tendo dificuldades em seguir a derivação das equações para a regressão de processo gaussiana. Eles usam a configuração e notação de Rasmussen & Williams . Assim, o ruído aditivo, com média zero, estacionário e normalmente distribuído com variação é assumido:$\sigma^2_{noise}$

$$y=f(\mathbf{x})+\epsilon, \quad \epsilon\sim N(0,\sigma^2_{noise})$$

Um GP anterior com média zero é assumido para , o que significa que , é um vetor gaussiano com média 0 e matriz de covariância$f(\mathbf{x})$$\forall \ d\in N$$\mathbf{f}=\{f(\mathbf{x_1}),\dots,f(\mathbf{x_d})\}$

$$\Sigma_d=\pmatrix{k(\mathbf{x_1},\mathbf{x_1})& & k(\mathbf{x_1},\mathbf{x_d}) \\ & \ddots & \\k(\mathbf{x_d},\mathbf{x_1})& & k(\mathbf{x_d},\mathbf{x_d}) }$$

A partir de agora, assumimos que os hiperparâmetros são conhecidos. Então a Eq. (4) do artigo é óbvia:

$$p(\mathbf{f},\mathbf{f^*})=N\left(0,\pmatrix { K_{\mathbf{f},\mathbf{f}} & K_{\mathbf{f^*},\mathbf{f}} \\K_{\mathbf{f^*},\mathbf{f}} & K_{\mathbf{f^*},\mathbf{f^*}}} \right)$$

Aí vêm as dúvidas:

1. Equação (5):

   $$p(\mathbf{y}|\mathbf{f})=N\left(\mathbf{f},\sigma^2_{noise}I \right)$$

   E [ y | f ] = f ≠ 0 $E[\mathbf{f}]=0$ , mas acho que porque quando eu condiciono em , então que é um vetor constante e apenas é aleatório. Corrigir?$E[\mathbf{y}|\mathbf{f}]=\mathbf{f}\neq0$$\mathbf{f}$$\mathbf{y}=\mathbf{c}+\boldsymbol{\epsilon}$$\mathbf{c}$$\boldsymbol{\epsilon}$

2. Enfim, é a Eq. (6) que é mais obscura para mim:

   $$p(\mathbf{f},\mathbf{f^*}|\mathbf{y})=\frac{p(\mathbf{f},\mathbf{f^*})p(\mathbf{y}|\mathbf{f})}{p(\mathbf{y})}$$

   Essa não é a forma usual do teorema de Bayes. O teorema de Bayes seria

   $$p(\mathbf{f},\mathbf{f^*}|\mathbf{y})=\frac{p(\mathbf{f},\mathbf{f^*})p(\mathbf{y}|\mathbf{f},\mathbf{f^*})}{p(\mathbf{y})}$$

   Eu entendo por que as duas equações são as mesmas: intuitivamente, o vetor de resposta depende apenas do vetor latente correspondente , condicionando assim em ou em deve levar à mesma distribuição. No entanto, isso é uma intuição, não uma prova! Você pode me ajudar a mostrar por que$\mathbf{y}$$\mathbf{f}$$\mathbf{f}$$(\mathbf{f},\mathbf{f^*})$

   $$p(\mathbf{y}|\mathbf{f},\mathbf{f^*})=p(\mathbf{y}|\mathbf{f})$$

1. Se corrigirmos , Toda a incerteza em provém do ruído. Portanto, para a equação (5) do artigo, temos que, , temos em cada ponto ruído independente com variação e média zero . Adicionamos a média inicial e obtemos a resposta.y f σ 2 n o i s e$\mathbf{f}$$\mathbf{y}$$\mathbf{f}$$\sigma_{noise}^2$$0$
2. Uma maneira de provar a igualdade sugerida é encontrar a distribuição em no lado esquerdo e no lado direito da qualidade. Ambos são gaussianos, para o lado esquerdo já sabemos a resposta. Para o lado direito, procedemos de maneira semelhante. Vamos encontrar a distribuição condicional para . Pelo resultado da primeira parte, sabemos: Usando regras de probabilidade, é fácil integrar de $$p(\mathbf{y} | \mathbf{f}, \mathbf{f}^*) = p(\mathbf{y} | \mathbf{f})$$ $(\mathbf{y}, \mathbf{y}^*)$ $$p(\mathbf{y}, \mathbf{y}^* | \mathbf{f}, \mathbf{f}^*) = \mathcal{N}((\mathbf{f}, \mathbf{f}^*), \sigma^2_{noise} I).$$ $\mathbf{y}^*$Y y * p ( y | f , f * ) = N ( f , σ 2 n o i s e I ) = P ( Y | f ) $(\mathbf{y}, \mathbf{y}^*)$, como a matriz de covariância é diagonal e os vetores e são independentes. Ao fazer isso, obtemos: $\mathbf{y}$$\mathbf{y}^*$ $$p(\mathbf{y} | \mathbf{f}, \mathbf{f}^*) = \mathcal{N}(\mathbf{f}, \sigma^2_{noise} I) = p(\mathbf{y} | \mathbf{f}).$$