Valor esperado da razão de variáveis aleatórias correlacionadas?

Para variáveis aleatórias independentes e , existe uma expressão de formulário fechado para $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

em termos dos valores e variações esperados de e ? Caso contrário, existe um bom limite inferior a essa expectativa? $\alpha$ $\beta$

Atualização: Também posso mencionar que e . Posso controlar a variação em e , e tenho em mente uma configuração em que as variações de e são bem pequenas em relação a . Talvez os dois desvios padrão sejam menores que 0,3. $\mathbb E[\alpha] = 1$ $\mathbb E[\beta] = 0$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\mathbb E[\alpha]$

— Jeff
fonte

Provavelmente não. Você tem formulários explícitos para ?

α, β

$\alpha,\beta$

— Alex R.

Infelizmente eu não. Eu só tenho meios e limites superiores em suas variações. Algum pensamento sobre um limite inferior analítico da expectativa? É sempre entre 0 e 1. Pensei em fazer algo com a desigualdade de Chebyshev, mas me perguntei se havia uma maneira melhor.

— Jeff

Você conhece a distribuição conjunta de e ? Por exemplo. Multiivariado normal?

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Matthew Gunn

Não, não posso supor que sejam multivariadas normais. Eu só tenho que eles são independentes. Espero que cada um deles seja aproximadamente normal, mas não posso confiar nisso. Eu preciso de um verdadeiro limite inferior. Obrigado por perguntar!

— Jeff

Pensei em um limite inferior, embora não ache muito apertado. Eu apenas escolho um valor arbitrário menor que a média de e outro valor arbitrário em torno da média de . Como a expectativa é de uma variável aleatória não negativa e porque e são independentes, $\alpha$ $\beta^2$ $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Pela desigualdade de Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Pela desigualdade de Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Portanto,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Existe uma maneira mais padrão / sistemática de fazer o que estou fazendo aqui, que fica mais restrita?

— Jeff
fonte

Não acredito nesse limite inferior de . Como um contra-exemplo, vamos assumir o valor com probabilidade e com probabilidade , então sua média é . Seja essencialmente zero (comparado com ). Então assume o valor com probabilidade e com probabilidade , tornando sua expectativa . A escolha de mostra que a expectativa é limitada apenas por

0.28

$0.28$

α

$\alpha$

(1 + p) / (1 - p)

$(1+p)/(1-p)$

1 - p

$1-p$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

β

$\beta$

| α |

$|\alpha|$

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}}

$\alpha/\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

1 - p

$1-p$

1 - 2 p

$1-2p$

p \approx 1

$p\approx 1$

- 1

$-1$ e esse é o melhor limite inferior possível.

— whuber

@ whuber - Como passa para 1, a variação de no seu contra-exemplo não chega ao infinito? Mas na questão, a variação de e é limitada por . Desculpe por não escrever isso mais claramente na pergunta.

p

$p$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

β

$\beta$

0.3

$0.3$

— Jeff

Percebi um defeito na minha resposta: eu assumi mas isso está errado. Em vez disso, , conforme observado. Gostaria de saber se a resposta pode ser corrigida.

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq 0

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge 0$

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq - 1

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge -1$

— Jeff

Você pode obter um número mínimo de quando a variação de for . Faça isso fazendo identicamente zero e deixando assumir dois valores: um é infinitesimal, mas negativo, com probabilidade ; o outro valor é .

- σ^{2} (2 + σ^{2})

$-\sigma^2(2+\sigma^2)$

α

$\alpha$

σ^{2}

$\sigma^2$

β

$\beta$

α

$\alpha$

(1 + σ^{2}) / (2 + σ^{2})

$(1+\sigma^2)/(2+\sigma^2)$

2 + σ^{2}

$2+\sigma^2$

— whuber

Eu acho que isso resolve meu problema. Thabks much. Você o postaria como resposta para que eu possa aceitá-lo?

— Jeff

Valor esperado da razão de variáveis ​​aleatórias correlacionadas?

Valor esperado da razão de variáveis aleatórias correlacionadas?