Alguém pode oferecer um exemplo de distribuição unimodal que tem uma assimetria zero, mas que não é simétrica?

Em maio de 2010, o usuário da Wikipedia Mcorazao acrescentou uma frase ao artigo de assimetria que "Um valor zero indica que os valores estão distribuídos de maneira relativamente uniforme nos dois lados da média, tipicamente mas não necessariamente implicando uma distribuição simétrica". No entanto, a página wiki não possui exemplos reais de distribuições que violem essa regra. Buscar no Google "exemplos de distribuições assimétricas com assimetria zero" também não fornece exemplos reais, pelo menos nos 20 primeiros resultados.

Usando a definição de que a inclinação é calculada por e R Fórmula$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

Eu posso construir uma distribuição pequena e arbitrária para diminuir a assimetria. Por exemplo, a distribuição

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

gera uma inclinação de . Mas esta é uma amostra pequena e, além disso, o desvio da simetria não é grande. Então, é possível construir uma distribuição maior com um pico altamente assimétrico, mas ainda assim com uma assimetria de quase zero?$-5.64947\cdot10^{-5}$

Considere distribuições discretas. Um que é suportado nos valores de x 1 , x 2 , … , x k é determinado por probabilidades não-negativas p 1 , p 2 , … , p k sujeito às condições que (a) somam a 1 e (b) o coeficiente de assimetria é igual a 0 (o que equivale ao terceiro momento central sendo zero). Isso deixa k - 2 graus de liberdade (no sentido de resolver equações, não no estatístico!). Podemos esperar encontrar soluções unimodais.$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

Para facilitar a busca de exemplos, procurei soluções suportadas em um pequeno vetor simétrico com um modo único em 0 , média zero e assimetria zero . Uma dessas soluções é ( p 1 , … , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$ .$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

Você pode ver que é assimétrico.

Aqui está uma solução mais obviamente assimétrica com (que é assimétrico) ep = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108 :$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

Agora é óbvio o que está acontecendo: como a média é igual a , os valores negativos contribuem ( - 3 ) 3 = - 27 e 18 × ( - 1 ) 3 = - 18 para o terceiro momento, enquanto os valores positivos contribuem 4 × 2 3 = 32 e 13 × 1 3 = 13 , equilibrando exatamente as contribuições negativas. Podemos pegar uma distribuição simétrica em torno de 0 , como x$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$ com p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 , e deslocar um pouco de massa a partir de + 1 a + 2 , uma pequena massa de + 1 até - 1 , e uma pequena quantidade de massa até - 3 , mantendo a média em 0 e a assimetria em$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$também, ao criar uma assimetria. A mesma abordagem funcionará para manter a média zero e a assimetria zero de uma distribuição contínua, tornando-a assimétrica; se não formos muito agressivos com a mudança de massa, ela permanecerá unimodal.

Editar: Distribuições Contínuas

Como o problema continua aparecendo, vamos dar um exemplo explícito com distribuições contínuas. Peter Flom teve uma boa ideia: veja as misturas de normais. Uma mistura de duas normais não serve: quando sua distorção desaparece, será simétrica. O próximo caso mais simples é uma mistura de três normais.

As misturas de três normais, após uma escolha apropriada de local e escala, dependem de seis parâmetros reais e, portanto, devem ter flexibilidade mais que suficiente para produzir uma solução assimétrica e assimetria zero. Para encontrar alguns, precisamos saber como calcular assimetrias de misturas de normais. Entre estes, procuraremos por qualquer que seja unimodal (é possível que não haja nenhum).

$r^\text{th}$$r$$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

$(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

Os gráficos indicam que estes são unimodais. (Você pode verificar usando Cálculo para encontrar máximos locais.)

$k=0.0629$$c=18.1484$

Tem média 0,5387, desvio padrão 0,2907, assimetria 0,0000 e curtose 2,0000. A fonte também chama isso de "distribuição de elefantes":

Minha reprodução em R foi criada com

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

produzindo

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

Considere uma distribuição na metade positiva da linha real que aumenta linearmente de 0 para o modo e é exponencial à direita do modo, mas é contínua no modo.

Isso poderia ser chamado de distribuição triangular-exponencial (embora muitas vezes pareça um pouco com uma barbatana de tubarão).

$\theta$$\lambda$

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

O segmento Distribuições não normais com assimetria zero e excesso de curtose? tem alguns exemplos assimétricos, incluindo um pequeno exemplo discreto e outro contínuo e unimodal:

Distribuições unimodais discretas - ou equivalentemente, amostras - com assimetria zero são bastante fáceis de construir, de tamanho grande ou pequeno.

Aqui está um exemplo, que você pode tratar como uma amostra ou (dividindo as frequências brutas por 3000) como um pmf (os valores 'x' são os valores obtidos, 'n' é o número de vezes que esse valor ocorre na amostra ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

Este exemplo é construído a partir de distribuições de 3 pontos:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

$c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$$\sum_i n_ix_i^3 =0$$c$

Existem todos os tipos de outros "átomos" que se pode construir, mas este exemplo usa apenas esse tipo. A alguma combinação de átomos como esses são adicionados alguns valores simetricamente colocados para preencher os buracos restantes e garantir a unimodalidade sem destruir a estrutura da média e do terceiro momento.

$[1]$

$[2]$

Certo. Tente o seguinte:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(Você já fez as coisas difíceis!)

$Y$$Z$$\mu$

$Y$$Z$$\mu$$\mu$

A seguinte distribuição discreta é assimétrica e tem assimetria nula: Prob (-4) = 1/3, Prob (1) = 1/2, Prob (5) = 1/6. Encontrei no artigo de Doric et al., Qual Quant (2009) 43: 481-493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9