É Se sim, como provar?

Faz ? Além disso, o que dizer de Estou confuso com as relações. Parece intuitivamente ser o caso. Se estiver correto, como eu o provo matematicamente. Eu pesquisei neste site e em outros lugares ... $E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$ $E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

conditional-expectation

— KUZ
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Esta é uma pergunta de um curso ou livro? Em caso afirmativo, adicione a [self-study]tag e leia seu wiki .

— gung - Restabelece Monica

Não, isso não é de um curso ou livro didático. Apenas tentando entender por mim mesmo.

— KUZ

Essas duas expectativas condicionais diferem em geral:
$E [E (X | Y) | Z] \neq E [X | Y, Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$

De fato, estritamente falando, eles nem sequer vivem no mesmo espaço funcional, pois o primeiro é uma função de , wrt mensurável , a álgebra induzida por , enquanto o segundo é uma função de , portanto, wrt mensurável , a álgebra induzida por , $Z$ $\sigma(Z)$ $\sigma$ $Z$ $(Y,Z)$ $\sigma(Y,Z)$ $\sigma$ $(Y,Z)$

Como um contra-exemplo, considere a configuração quando

$X$ e são independentes $Y$
$X$ e são dependentes, com $Z$ $\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Então, devido à independência entre e , e, portanto, $X$ $Y$ $\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$

E [E (X | Y) | Z] = E [X] \neq E [X | Y, Z]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[X]\ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$

Em vez disso, uma igualdade válida é que vale para todas as relações de dependência entre as três variáveis aleatórias.

E [E (X | Y, Z) | Z] = E [X | Z]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y,Z)|Z]=\mathbb{E}[X|Z]$

Notações: A diferença entre as notações e é aquele $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ é uma variável aleatória, transformação da variável aleatória (e não da variável aleatória já que Y também é condicionado em ); $Z$ $Y$ $Y$ $Z$
$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ é uma função aparentemente de e , mas, na verdade, apenas de (como explicado abaixo) que não tem um significado claro de um ponto de vista probabilístico . De fato, para um determinado valor , é uma constante para a qual assumir uma expectativa condicional condicional à realização faz pouco sentido, pois também retorna . Por exemplo, se depende de e como uma variável aleatória, para uma determinada realização de $y$ $z$ $y$ $y$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $Z=z$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $X$ $Y$ $X$ $y$ $Y$ e de , é uma constante que geralmente difere e de . Mas não é uma realização da variável aleatória . A realização correta é $Z$ $z$ $\mathbb{E}(X|Y=y)$ $\mathbb{E}(X)$ $\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$

— Xi'an
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Obrigado por este comentário, Xi'an. Não estou claro sobre sua resposta em uma coisa: em seu contra-exemplo, se X e Y são independentes (portanto, ) e se X e Z são dependentes, então por que ?

E (X | Y) = E [X]

$\mathbb{E}(X|Y)= \mathbb{E}[X]$

E [E (X | Y) | Z] = E [E (X) | Z] = E [X]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[\mathbb{E}(X)|Z]= \mathbb{E}[X]$

— KUZ

..because é uma constante ...

E [X]

$\mathbb{E}[X]$

— Xi'an