Se bem entendi, sua análise é:
- Calcule o número esperado de lançamentos de moedas necessários para obter uma cabeça.
- Calcule o pagamento do resultado em que você obtém exatamente o número esperado.
- Valorize o jogo igual a esse pagamento.
... OK, vamos modificar um pouco esse jogo. Assim como a versão original, vou jogar uma moeda e continuar lançando até jogar a cabeça. Somente os pagamentos foram alterados:
- Se eu virar a cabeça no segundo arremesso, você ganha quatro dólares.
- Em qualquer outro resultado, você perde tudo o que possui e precisa trabalhar para mim para sempre, de graça.
Quantas moedas esperamos jogar antes de conseguir uma cabeça? 2, exatamente o mesmo de antes.
Qual é o pagamento pelo resultado em que jogamos duas moedas para conseguir uma cabeça? US $ 4,00, exatamente o mesmo de antes.
Quanto você estaria disposto a pagar pelo 'privilégio' de pagar este jogo com 75% de chance de falir e 25% de retorno de $ 4,00?
Suspeito que a resposta não seja "até quatro dólares, exatamente a mesma de antes". O que significa que há um buraco na sua lógica.
Sob uma perspectiva mais ampla, os ganhos esperados não são necessariamente informações suficientes para responder a esse tipo de pergunta; geralmente depende de algum contexto adicional. Esta é uma oportunidade única ou você espera receber essa aposta muitas vezes? Quanto dinheiro você tem em mãos? E quanto dinheiro você precisa para ser feliz?
Por exemplo, se minha riqueza total for de US $ 100, mas eu precisar urgentemente de um milhão de dólares para uma operação que salva vidas, eu estaria disposto a pagar todo o meu dinheiro por uma única chance na aposta de São Petersburgo. Isso só me dá 1/2 ^ 19 de chance de ganhar o dinheiro que preciso, mas se eu não jogar, não tenho chance.
Por outro lado, se minha riqueza total é de US $ 1.000.000 e eu preciso exatamente de um milhão de dólares para essa operação, o máximo que eu estaria disposto a pagar por um único jogo é de dois dólares (que eu garantidamente recuperarei) . Mais alguma coisa, e eu tenho 1/2 chance de acabar com o milhão de dólares que preciso para salvar minha vida.
Se estou esperando ter muitas chances de jogar esses jogos, provavelmente quero escolher uma estratégia que me dê uma alta probabilidade de ter muito dinheiro no final de todos esses jogos. Por exemplo:
É garantido que o jogo A aumenta minha riqueza em 10% toda vez que o jogo. (Ganho esperado: + 10% da minha riqueza atual.) O jogo B tem 90% de chance de duplicar minha riqueza e 10% de chance de me levar à falência. (Ganho esperado: + 70% da minha riqueza atual.) [Editar: na verdade + 80% porque falhei na aritmética básica, mas o argumento ainda é válido.]
Se eu jogar 100 iterações do Jogo A, certamente multiplicarei minha riqueza por 13.780 vezes.
Se eu jogar 100 iterações do Jogo B, tenho 0,0027% de chance de me tornar inimaginavelmente rico (cerca de 10 ^ 30 vezes o que comecei) ... e 99,73% de chance de falir. Embora a média seja melhor do que no jogo A, não é uma boa opção.
Para esse tipo de jogo muito repetido, em vez de tentar maximizar meus ganhos esperados em cada jogo, é melhor tentar maximizar o valor esperado de ln (riqueza total após o jogo / riqueza total antes do jogo). Isso garante crescimento a longo prazo sem ser exterminado.
Se as apostas para cada jogo são pequenas em relação à minha riqueza total, isso é aproximadamente equivalente a maximizar os ganhos esperados em cada jogo.
Portanto, se você estiver jogando muitos jogos e nunca arriscando grande parte de sua riqueza atual, o valor esperado da aposta informa tudo o que você precisa saber. Em praticamente qualquer outra situação, você precisa pensar em outras coisas também.