Identidade de funções geradoras de momento

Existem distribuições não idênticas que possuem a mesma função geradora de momentos?

Sim.

Em um exercício, Stuart & Ord ( Teoria da Estatística Avançada Kendall .., 5ª Ed, Ex 3,12) citar resultado de TJ Stieltjes (que aparentemente aparece em seu livro de 1918 Oeuvres completes , ):

Se é uma função ímpar do período $f$ , mostre que$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

para todos os valores integrais de . Portanto, mostre que as distribuições$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

tenha os mesmos momentos, independentemente do valor de .$\lambda$

(No original, aparece apenas como λ ; a restrição no tamanho de λ decorre do requisito de manter todos os valores da função de densidade d F não negativos.) O exercício é fácil de resolver através da substituição x = exp ( y ) e completando o quadrado. O caso λ = 0 é a distribuição lognormal conhecida .$|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$