Duas variáveis aleatórias normais padrão são sempre independentes?

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Aprendi que a distribuição normal padrão é única porque a média e a variação são fixadas em 0 e 1, respectivamente. Por esse fato, pergunto-me se duas variáveis aleatórias padrão devem ser independentes.

normal-distribution independence

— C.Hawk
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Por que eles deveriam ser ..? Independência não tem nada a ver com distribuição.

— Tim

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Considere e . Eles não são independentes.

X

$X$

X

$X$

— djechlin

Você pode achar isso útil do ponto de vista prático. stats.stackexchange.com/questions/15011/...

— JustGettinStarted

Além dos bons exemplos dados, considere geralmente uma distribuição normal bivariada com N (0 ,!) distribuições marginais. É possível ter qualquer correlação entre -1 e 1. Os exemplos abaixo são todos casos especiais. Como um aparte, é possível que duas variáveis normais padrão sejam dependentes, mas não tenham uma distribuição bivariada.

— Michael R. Chernick

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Percebo que Batman fornece um resultado geral que pode ser o mesmo que estou sugerindo. O caso Y = -X tem correlação -1 e, portanto, é uma forma degenerada de um normal bivariado. Não vi um exemplo aqui (neste post) que ilustra um caso que não seja normal bivariado.

— Michael R. Chernick

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A resposta é não. Por exemplo, se é uma variável aleatória padrão, segue as mesmas estatísticas, mas e são claramente dependentes. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— zap
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Não, não há razão para acreditar que dois gaussianos padrão sejam independentes.

Aqui está uma construção matemática simples. Suponha que e são duas variáveis normais padrão independentes. Então o par $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

são duas variáveis normais padrão dependentes . Portanto, desde que sejam duas variáveis normais independentes , deve haver duas variáveis dependentes .

A segunda variável é normal porque qualquer combinação linear de variáveis normais independentes é novamente normal. O existe para tornar a variação igual a. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

Intuitivamente, eles são dependentes porque conhecer o valor de fornece informações adicionais que você pode usar para prever o valor da segunda variável. Por exemplo, se você souber que , a expectativa condicional da segunda variável é $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
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Aqui está uma resposta bastante ampla:

Sejam conjuntamente variáveis aleatórias gaussianas (isto é, para quaisquer números reais , tem uma distribuição gaussiana). Então, e são independentes se e somente se (ou seja, eles não estão correlacionados). Veja estas notas , por exemplo, para detalhes. $X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

Como você pode gerar variáveis aleatórias normais padrão que não são independentes? Escolha sua matriz favorita da forma forma que tenha raízes positivas em . Em seguida, aplique o decompositon Cholesky de . Então, pegue duas variáveis aleatórias normais padrão independentes e, em seguida, o vetor $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ possui componentes normais padrão, mas os componentes são independentes se e somente se . $p=0$

— homem Morcego
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Um exemplo normal não bivariado (como Michael Chernick sugere nos comentários):

Seja . $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$

$f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$

— homem Morcego
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Duas variáveis aleatórias normais padrão são sempre independentes?