CLT com variáveis aleatórias que não são integráveis

O Exercício 15.5.1 da "Teoria da Probabilidade: Um Curso Abrangente" de Klenke é o seguinte. Encontre uma sequência $X_1, X_2, \ldots$ de variáveis aleatórias reais independentes com $\mathbb{E}[|X_n|]=\infty$ para todo $n\in \mathbb{N}$ tal que

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{\sqrt{n}} \overset{n \to \infty}{⟹} N (0, 1) .

$\frac{X_1+ \cdots + X_n}{\sqrt{n}} \stackrel{n \to \infty}{\Longrightarrow} N(0,1).$ Não sei como isso é possível se a média nem estiver definida neste caso. Todos os casos em que consigo pensar em variáveis com média indefinida não satisfazem um Teorema Central de Limite com um

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ escala. Qualquer ajuda é apreciada.

self-study central-limit-theorem

— guest0877
fonte

Dica: reduza os conceitos aos seus elementos básicos. Como o Normal está no coração do CLT, comece com o iid padrão Normal

X_{i}

$X_i$ . Em seguida, modifique-os para que (a) cada um tenha um valor absoluto esperado infinito enquanto (b) a quantidade de modificação diminua rapidamente com

n

$n$ , de modo que na divisão limite por

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ "mata" a peça modificada. Uma maneira simples de modificar uma variável aleatória é adicionar outra a ela.

— whuber

@whuber Você acha que as variáveis aleatórias não são distribuídas de forma idêntica? Se fossem, eu concordaria com o OP.

— Michael R. Chernick

@whuber A resposta também exige que apenas Xn tenha a média infinita.

— Michael R. Chernick 08/12/16

Eu acho que o "para todos os n" significa que todos os Xi têm um valor absoluto médio infinito. Eu estou tentando ser cuidadoso aqui. Quero entender sua dica, mas não dizer algo que ofereça a solução para o OP.

— Michael R. Chernick 8/16/16

@ Michael Se eles fossem iid, o resultado não seria verdadeiro. A idéia é tornar a parte de

que faz com que a expectativa infinita tenha cada vez menos chance de ocorrer à medida que

aumenta. Uma boa maneira de fazer isso é com uma mistura.

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

Entre as várias maneiras de resolver essa, construir a sequência perturbando uma variável normal padrão parece ser a mais simples e elegante.

No final, comento a conexão com o Teorema do Limite Central.

Funções características

Permita-me uma digressão antes de apresentar uma solução. A inspiração para a técnica que será utilizada vem da idéia de que existe mais de uma maneira para descrever a distribuição de qualquer variável aleatória . Mais comum e mais direta, é sua função de distribuição . Uma alternativa indireta, mas extremamente útil, é sua função característica $X$ $F_X(x)=\Pr(X\le x)$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = E [\cos (t X)] + i E [\sin (t X)] .

$\psi_X(t) = E\left[e^{itX}\right] = E\left[\cos(t X)\right] + i\, E\left[\sin(t X)\right].$

Como para todos os , é definido para qualquer distribuição (e seus valores para todos os não podem exceder em tamanho). Além disso, e têm a mesma distribuição se e somente se tiverem a mesma função característica. Ainda melhor é o Teorema da Continuidade de Lévy: Uma sequência converge em distribuição para uma variável aleatória se e somente se para cada a sequência converge para um valor e a função $|e^{itX}|=1$ $t$ $\psi_F$ $F$ $t$ $1$ $X$ $Y$ $X_n$ $X$ $t$ $\phi_{X_n}(t)$ $\psi(t)$ $\psi$ é contínuo em . (Todas as funções características são contínuas em .) Neste caso, é a função característica de . $0$ $0$ $\psi$ $X$

Outra das propriedades encantadoras desfrutadas pelas funções características é a relação delas com combinações lineares: quando e são variáveis aleatórias (no mesmo espaço de probabilidade e e são números reais, $X$ $Y$ $\alpha$ $\beta$

\begin{matrix} (1) & ψ_{α X + β Y} (t) = ψ_{X} (α t) ψ_{Y} (β t) . \end{matrix}

$\psi_{\alpha X+\beta Y}(t) = \psi_X(\alpha t)\psi_Y(\beta t).\tag{1}$

Isso torna as funções características (cfs) uma ferramenta adequada para o estudo de perturbações das variáveis aleatórias alcançadas adicionando pequenas quantidades de outras variáveis aleatórias a elas: ou seja, variáveis aleatórias da forma parapequeno. $X$ $Y$ $X+\beta Y$ $|\beta|$

Solução

Construção de uma sequência

Vamos construo de uma solução de partida com uma variável normal padrão e a formação de uma sequência independente com a mesma distribuição que . Obviamente, isso tem a propriedade limitadora que queremos: os meios são todos padrão Normal; portanto, no limite, o meio é padrão Normal. $Z$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n, \ldots$ $Z$

Seu cf é

\begin{matrix} (2) & ψ_{Z} (t) = e^{- t^{2} / 2} . \end{matrix}

$\psi_Z(t) = e^{-t^2/2}.\tag{2}$

Para as perturbações, escolha alguma variável aleatória com expectativa infinita. Será conveniente para ter um cf fácil de trabalhar. Gostaria de sugerir a distribuição Lévy ( também conhecida como Distribuição Estável com ou distribuição Gamma Inversa ) para a qual $Y$ $Y$ $\alpha=1/2,\ \beta=1$ $(1/2,1/2)$

ψ_{Y} (t) = e^{- \sqrt{| t |} (1 - i sgn (t))} .

$\psi_Y(t) = e^{-\sqrt{|t|}\,(1 - i \operatorname{sgn}(t))}.$

(Para , ; para ) $t\gt 0$ $\operatorname{sgn}(t)=1$ $t \lt 0,$ $\operatorname{sgn}(t)=-1$

Esta distribuição é suportada em e não possui momentos finitos. $(0,\infty)$

Para esta sequência de variáveis normais padrão vamos adicionar cada vez menores múltiplos positivos de . $(Z_n)$ $Y$ (A positividade é desnecessária, mas facilita o trabalho com a função .) Permita que a sequência de múltiplos seja a ser determinada. Assim, a sequência de variáveis aleatórias é definido para ser onde é uma sequência de variáveis aleatórias iid com a mesma distribuição que . $\operatorname{sgn}$ $p_1,p_2,p_3,\ldots,$

X_{n} = Z_{n} + p_{n} Y_{n}

$X_n=Z_n + p_n Y_n$

(Y_{n})

$(Y_n)$

Y

$Y$

Intuição

O que precisamos nos preocupar é se as perturbações são tão ruins que arruinam a convergência para uma distribuição normal padrão. Para aqueles com experiência com tais distribuições de cauda pesados, esta é uma preocupação real: sempre haverá alguma probabilidade positiva de que o pouco de adicionados em irá ocasionalmente introduzir um grande outlier tais gritante que supera a soma parcial . Toda a razão para usar funções características é demonstrar que isso não acontecerá a longo prazo, desde que reduzamos a quantidade de perturbação (o ) suficientemente rapidamente. $Y_n$ $Z_n$ $S_n$ $p_n$

Cálculos formais

Primeiro, tem expectativa infinita porque $X_n$

E [X_{n}] = E [Z_{n} + p_{n} Y_{n}] = E [Z] + p_{n} E [Y] = p_{n} E [Y]

$E[X_n] = E[Z_n + p_n Y_n] = E[Z] + p_n E[Y] = p_n E[Y]$

deve ser infinito, pois é infinito. Portanto, essa sequência atende a todos os requisitos do problema. $E[Y]$ $(X_n)$

Vamos voltar à análise das médias parciais. Aplicação repetida de à média parcial $(1)$

S_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\sqrt{n}}

$S_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{\sqrt{n}}$

dá

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ψ_{S_{n}} (t) & = [e^{- (t / \sqrt{n})^{2} / 2} ψ_{Y} (p_{1} t / \sqrt{n})] \dots [e^{- (t / \sqrt{n})^{2} / 2} ψ_{Y} (p_{n} t / \sqrt{n})] \\ = [e^{- (t / \sqrt{n})^{2} / 2} \dots e^{- (t / \sqrt{n})^{2} / 2}] [ψ_{Y} (p_{1} t / \sqrt{n}) \dots ψ_{Y} (p_{n} t / \sqrt{n})] \\ = e^{- t^{2} / (2 n) - t^{2} / (2 n) - \dots - t^{2} / (2 n)} e^{\sqrt{| p_{1} t / \sqrt{n} |} (- 1 + i sgn (p_{1} t / \sqrt{n})} \dots e^{\sqrt{| p_{n} t / \sqrt{n} |} (- 1 + i sgn (p_{n} t / \sqrt{n})} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{ \psi_{S_n}(t) &= \left[e^{-(t/\sqrt{n})^2/2}\color{Blue}{\psi_Y(p_1 t/\sqrt{n})}\right] \cdots \left[e^{-(t/\sqrt{n})^2/2}\color{Blue}{\psi_Y(p_n t/\sqrt{n})}\right] \\ &= \left[e^{-(t/\sqrt{n})^2/2} \cdots e^{-(t/\sqrt{n})^2/2}\right] \left[\color{Blue}{\psi_Y(p_1t/\sqrt{n}) \cdots \psi_Y(p_nt/\sqrt{n})}\right] \\ &= e^{-t^2/(2n) - t^2/(2n) - \cdots - t^2/(2n)}\quad \color{Blue}{e^{\sqrt{|p_1t/\sqrt{n}|}(-1+i\operatorname{sgn}(p_1t/\sqrt{n})} \cdots e^{\sqrt{|p_nt/\sqrt{n}|}(-1+i\operatorname{sgn}(p_nt/\sqrt{n})} }.\tag{3} }$

$e$ $-t^2/2$

\begin{matrix} (4) & \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{| p_{i} t / \sqrt{n} |} (- 1 + i sgn (p_{i} t / \sqrt{n})) = \sqrt{| t |} (- 1 + i sgn (t)) \frac{\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{p_{i}}}{n^{1 / 4}} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^n \color{blue}{\sqrt{|p_it/\sqrt{n}|}(-1+i\operatorname{sgn}(p_it/\sqrt{n}))} = \sqrt{|t|}(-1+i\operatorname{sgn}(t))\frac{\sum_{i=1}^n \sqrt{p_i}}{n^{1/4}}\tag{4}$

$n$ $p_i$ $|-1 + i\operatorname{sgn}(t)| \le \sqrt{2}$ $t$ $(4)$ $n$ $\sum_{i=1}^n\sqrt{p_i} = o(n^{-1/4}).$ $\sqrt{p_i}$ $p_i = 2^{-2i}$

\frac{1}{n^{1 / 4}} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{p_{i}} \leq \frac{1}{n^{1 / 4}} (1 / 2 + 1 / 4 + \dots + 1 / 2^{n} + \dots) = \frac{1}{n^{1 / 4}} \to 0.

$\frac{1}{n^{1/4}} \sum_{i=1}^n \sqrt{p_i} \le \frac{1}{n^{1/4}} (1/2+1/4+\cdots+1/2^n+\cdots) = \frac{1}{n^{1/4}}\to 0.$

$0$ $(3)$ $e^0=1$ $(\psi_{S_n})$ $\psi_X$ $S_n$

Comentários