Prove que uma distribuição é simétrica usando momentos

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Dada, uma variável aleatória X cuja média, variância e quarto momento central são 0, 2 e 4, respectivamente. Agora, como eu provo isso

(1) terceiro momento é 0

(2) distribuir é simétrico em torno de 0 e

(3) X é limitado.

Com as informações acima, a única coisa que pude encontrar foi que a distribuição é platykurtic. Mesmo que se prove que o terceiro momento é zero, como isso pode levar à simetria? A simetria não pode ser comprovada apenas pela plotagem dos dados?

Existe algum erro na pergunta?

self-study moments symmetry

— atormentar
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Conheço apenas uma distribuição que, até a localização e a escala, tem esses momentos: um Bernoulli

(1 / 2)

$(1/2)$ . Observe que sua curtose é

1

$1$ (seu excesso de curtose é

- 2

$-2$ ) Portanto, você pode tentar mostrar que não há outras distribuições nesses momentos.

— whuber

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É fato que a função

ϕ_{Y} : n \to E (| Y |^{n})^{1 1 / n}, n > 0 0

$\phi_Y: n \to \mathbb{E}(|Y|^n)^{1/n},\ n \gt 0$

(Conhecido como $L_n$ norma de $Y$ ) não está diminuindo. A demonstração em https://stats.stackexchange.com/a/244221 usa a desigualdade de Jensen (aplicada a uma função estritamente convexa). Essa desigualdade é uma desigualdade estrita sempre que $|Y|$ pode assumir mais de um valor com probabilidade positiva.

De locação $Y=X - \bar X$ ser a versão centralizada do $X$ , a partir dos valores fornecidos da variância e do quarto momento (central), deduzimos

E (| Y |^{4})^{1 1 / 4} = 4^{1 1 / 4} = \sqrt{2} = Var (X)^{1 1 / 2} = E (| Y |^{2})^{1 1 / 2},

$\mathbb{E}(|Y|^4)^{1/4} = 4^{1/4} = \sqrt{2} = \operatorname{Var}(X)^{1/2} = \mathbb{E}(|Y|^2)^{1/2},$

que mostra $\phi_Y(4) = \phi_Y(2)$ . Consequentemente, porque $\phi$ não diminuiu, $|Y|$ é quase certamente constante, de onde $X$ pode assumir no máximo dois valores distintos $\bar X \pm \sqrt{2}$ (quase com certeza). É imediato que $X$ assume cada um desses valores com igual probabilidade: ou seja, $X$ deve ser uma versão deslocada de um Bernoulli $(1/2)$ variável que foi dimensionada por $\sqrt{8}$ .

A demonstração de (1) (zero terceiro momento), (2) (simetria sobre $0$ ) e (3) (limite) agora é trivial.

Observe que as mesmas conclusões podem ser tiradas sempre que houver dois momentos $k \ne n$ para qual $\phi_Y(k)=\phi_Y(n)$ .

— whuber
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Na sua resposta, acho que você quis dizer uma desigualdade estrita ao se referir à Desigualdade de Jensen. Há também uma condição de que a função seja convexa ou côncava.

— Michael R. Chernick

@ Michael Obrigado; na verdade, eu quis dizer "desigualdade". A função em questão é

y \log (y)

$y\log(y)$ que é estritamente convexa, como demonstrado no encadeamento vinculado.

— whuber

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Aqui está uma abordagem. Isso responde $a$ provavelmente $b$ , e esperançosamente $c$ .

Resumindo o que sabemos: $E[X]=0$ , $E[X^2]=\mbox{Var}(X)=2$ e $E[X^4]=4$ . Deixei $m_i:=E[X^i]$ . Momentos de qualquer distribuição de probabilidade devem satisfazer uma definição positiva , no sentido de que qualquer $n\times n$ sub-matriz da matriz de momentos de Hankel seja positiva definida:

H : = (\begin{matrix} m_{0 0} & m_{1 1} & m_{2} & \dots \\ m_{1 1} & m_{2} & m_{3} & \dots \\ m_{2} & m_{3} & m_{4} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix})

$H:=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}\right)$ .

Picking $n=3$ nos dá:

H_{4} = (\begin{matrix} m_{0 0} & m_{1 1} & m_{2} \\ m_{1 1} & m_{2} & m_{3} \\ m_{2} & m_{3} & m_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 1 & 0 0 & 2 \\ 0 0 & 2 & m_{3} \\ 2 & m_{3} & 4 \end{matrix}),

$H_4=\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 \\ m_1 & m_2 & m_3 \\ m_2 & m_3 & m_4 \\ \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & m_3 \\ 2 & m_3 & 4 \\ \end{matrix}\right),$

e um cálculo rápido da mão fornece: $\mbox{det}(H_4)=-m_3^2$ . Desde a $H_4$ deve ser positivo, segue-se que $m_3=0$ .

Para mostrar isso $X$ é simétrico em torno de 0, basta mostrar que todos os momentos ímpares são zero. Eu acredito que você pode mostrar isso por indução nas sub-matrizes de Hankel.

Para mostrar isso $X$ é limitado, a ideia que tive é a seguinte equivalência:

P (| X | \leq R) = 1 1 \Leftrightarrow E [| X |^{k}] \leq R^{k}, k = 1 1, 2, \dots .

$P(|X|\leq R)=1 \Leftrightarrow E[|X|^k]\leq R^k, k=1,2,\cdots .$

Talvez você possa mostrar isso das matrizes Hankel?

— Alex R.
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