O que é uma série temporal estacionária? Quais são alguns exemplos?

Na minha aula de econometria, meu professor definiu uma série temporal estacionária assim: "Falando livremente, uma série temporal é estacionária se suas propriedades estocassiticas e sua estrutura de dependência temporal não mudarem ao longo do tempo". Estou confuso sobre o que alguns exemplos seriam. A temperatura ao longo dos anos seria estacionária, assumindo que não há nenhuma tendência? A estacionariedade significa que o único movimento nos dados é atribuído ao ruído branco aleatório? Quais são alguns exemplos? Estou perplexo por exemplos.

time-series stationarity

— Robert Grote
fonte

sob nova administração dos EUA, a temperatura será um processo estacionário.

— Aksakal

Respostas:

Talvez um exemplo simples das finanças possa ajudar a intuição. Seja a taxa de juros do período (observe que essa é uma variável aleatória). $R_t$ $t$

Inúmeros modelos de taxa de juros (por exemplo, Vasicek ou Cox-Ingersoll-Ross ) implicam que a taxa é um processo estacionário. Se você ganha a taxa de juros cada período e começa com dólares, a quantidade de dólares que você tem no momento é dada por: $R_t$ $V_0$ $t$

V_{t} = V_{0} \prod_{τ = 1}^{t} (1 + R_{τ})

$V_t = V_0 \prod_{\tau=1}^t \left(1 + R_\tau \right)$

O processo NÃO está parado. Não há média ou variação incondicional. $\left\{ V_t \right\}$

Outros exemplos de economia e finanças:

Seja a produção agregada (ie PIB) da economia no tempo . $Y_t$ $t$
- $y_t = \log(Y_t)$ quase certamente não é um processo estacionário.
- O crescimento na produção de log (ou seja, ) é normalmente tratado como um processo estacionário $y_t - y_{t-1}$
Seja o preço do portfólio geral de mercado. $S_t$
- $s_t = \log(S_t)$ quase certamente não é um processo estacionário.
- O retorno do log do portfólio de mercado é normalmente tratado como um processo estacionário. $r_t = s_t - s_{t-1}$

Uma caminhada aleatória ou um processo Wiener (o tempo contínuo análogo a uma caminhada aleatória) são exemplos canônicos de processos não estacionários. Por outro lado, incrementos de uma caminhada aleatória ou de um processo Wiener são processos estacionários.

Temperatura

Como o @kjetil aponta, a temperatura não é um processo estacionário. Por exemplo, a distribuição sobre temperaturas em janeiro não é a mesma que a distribuição sobre temperaturas em junho. A distribuição conjunta muda quando deslocada no tempo.

Por outro lado, seja um vetor de 12 por 1 para o ano que cada entrada do vetor indica a temperatura média de um mês. Você pode argumentar que é um processo estacionário. $\mathbf{y}_t$ $t$ $\mathbf{y}_t$

- Atualização Como @ bright-star aponta nos comentários, esta é a idéia básica por trás da ciclostationarity . A temperatura em um dia específico, conforme varia ao longo dos anos, pode ser um processo estacionário. $t$

Manchas solares

Um dos primeiros modelos de séries temporais foi desenvolvido por Yule e Walker para modelar o ciclo de manchas solares de 11 anos.

Vamos ser o número de manchas solares no ano . Eles modelaram o número de manchas solares em um ano como um processo estacionário usando o modelo AR (2) : $y_t$ $t$

y_{t} = a + b y_{t - 1} + c y_{t - 2} + ϵ_{t}

$y_t = a + b y_{t-1} + c y_{t-2} + \epsilon_t$

Um processo estacionário pode ter padrões, ciclos, etc ...

Esteja ciente das duas definições comuns de estacionariedade.

Um tanto vagamente:

Um processo é estritamente estacionário se a distribuição conjunta for invariante no tempo.
Um processo é covariância estacionário se a expectativa incondicional e a autocovariância existirem e não variarem ao longo do tempo.

(Talvez uma observação técnica obscura, mas a estacionariedade estrita não implique estacionariedade de covariância e estacionariedade de covariância não implique estacionariedade estrita.)

— Matthew Gunn
fonte

A temperatura diária (ou mensal) geralmente mostra comportamento cíclico ao longo do ano; portanto, não será estacionária, mesmo quando não houver tendência de longo prazo.

— Kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen Obrigado pela correção; minha linha original estava completamente errada.

— Matthew Gunn

Observe que a ciclostationidade também é passível de modelagem.

— estrela brilhante

A taxa de juros é tipicamente modelada como um processo estacionário. Mesmo? Eu tinha uma opinião diferente. Você teria uma referência? (Obviamente, encontrar uma boa referência pode não ser fácil para uma afirmação tão geral.) Além disso, é muito bom que você tenha incluído a observação no final. A terminologia pode ser enganosa, então a observação é realmente devida.

— Richard Hardy

@RichardHardy Eu o reduzi para discutir apenas Vasicek e Cox-Ingersoll-Ross.

— Matthew Gunn

A distribuição de um processo estacionário não muda com o tempo. Um exemplo intuitivo: você joga uma moeda. 50% de cabeças, independentemente de você girar hoje ou amanhã ou no próximo ano.

Um exemplo mais complexo: pela hipótese eficiente do mercado, o excesso de retorno das ações deve sempre flutuar em torno de zero. Não há tendência; assim que eles podem prever retornos, os comerciantes exploram a tendência até que ela desapareça. Portanto, não importa quando você observou retornos excedentes, ele ainda seria distribuído WN (0, ). $\sigma$

Como você disse, isso varia aleatoriamente de acordo com um processo de ruído branco.

— Anshu diz Restabelecer Monica
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A hipótese de mercado eficiente não implica que retornos excedentes devam ser zero na expectativa. A hipótese de mercado eficiente é que os preços de mercado refletem todas as informações disponíveis. É perfeitamente consistente com a hipótese eficiente do mercado de que os retornos esperados variem transversalmente entre os ativos se os retornos médios mais altos forem uma compensação pelo risco macroeconômico. Por exemplo. os prémios de risco para ações pode ser diferente do que os prémios de risco para títulos etc ...

— Matthew Gunn

Ah, você está certo, eu quis dizer "retorno das ações". Obrigado pela correção!

— Anshu diz Reinstate Monica