Como uma distribuição de qui-quadrado é uma distribuição gama se ela possui apenas um parâmetro?

Eu sei que a família gama de distribuições é uma família de dois parâmetros, mas o qui-quadrado tem apenas um parâmetro.

Como uma distribuição de qui-quadrado é uma distribuição gama se ela possui apenas um parâmetro?

chi-squared gamma-distribution

— simples
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Uma é uma distribuição Gamma : O parâmetro de escala é sempre igual a .

χ_{ν}^{2}

$\chi^2_\nu$

(ν / 2, 1 / 2)

$(\nu/2,1/2)$

1 / 2

$1/2$

— Xian

Uma distribuição normal padrão não possui parâmetros. Como poderia ser uma distribuição normal, então?

— whuber

@ whuber, normal tem média e variância como parâmetros, de modo que me pareceu claro que era uma dist'b'n gama.

— simples

O padrão normal não possui parâmetros.

— whuber

Vamos começar com o pdf de uma variável aleatória distribuída por gama $X$ , Onde $\alpha$ é o parâmetro de forma e $\beta$ é o parâmetro rate (o pdf é um pouco diferente se $\beta$ é um parâmetro de escala; ambos os parâmetros são estritamente positivos):

f_{X} (x) = \frac{x^{α - 1 1} β^{α} e^{- β x}}{Γ (α)}

$f_X(x) = \frac{x ^ {\alpha - 1} \beta ^ \alpha e ^ {-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$

Agora deixe $\alpha = \nu / 2$ e $\beta = 1/2$ . Depois de fazer essas substituições na equação acima, obtemos

f_{X} (x) = \frac{x^{\frac{ν}{2} - 1 1} e^{- x / 2}}{Γ (ν / 2) 2^{ν / 2}},

$f_X(x) = \frac{x ^ {\frac{\nu}{2} - 1} e ^ {-x / 2}}{\Gamma(\nu / 2) 2 ^ {\nu / 2}},$

que você pode reconhecer como o pdf de uma variável aleatória distribuída em qui-quadrado. Desde que consertamos $\beta$ como uma constante (1/2), transformamos uma variável aleatória de 2 parâmetros em uma que depende de apenas um parâmetro ( $\nu$ ) .

— Waldir Leoncio
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