Como o valor é convertido em p-value?

Sou novato em estatística e estou estudando a matemática por trás dos testes divididos (A / B e multivariados). Aprendi como calcular com dados de teste fornecidos e entendo como traduzir isso em uma probabilidade por meio de uma tabela, mas eu gostaria de poder calcular a probabilidade pessoalmente. Eu li algumas explicações online, mas não estou entendendo. $\chi^2$

Alguém sabe de um recurso ou livro que detalha isso?

chi-squared p-value

— Lenwood
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O valor é a área abaixo da densidade à direita da estatística de teste observada. Portanto, para calcular o valor- manualmente, você precisa calcular uma integral. $p$ $\chi^2$ $p$

Em particular, uma variável aleatória com graus de liberdade tem densidade de probabilidade $\chi^2$ $k$

f (x; k) = {\begin{cases} \frac{x^{(k / 2) - 1} e^{- x / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})}, & x \geq 0; \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f(x;\,k) = \begin{cases} \frac{x^{(k/2)-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}, & x \geq 0; \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Suponha que você observe uma estatística de teste . Então, o valor correspondente a é $\lambda$ $p$ $\lambda$

p = \int_{λ}^{\infty} \frac{x^{(k / 2) - 1} e^{- x / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})} d x

$p = \int_{\lambda}^{\infty} \frac{x^{(k/2)-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} dx$

Depois de tentar avaliar essa integral manualmente, pode ficar claro para você por que as pessoas usam tabelas (e computadores) para calcular essas coisas.

Edit: (Isso estava nos comentários, mas parecia importante o suficiente para adicionar aqui) Observe que você pode escrever o valor- usando funções especiais: $p$

p = 1 - \frac{γ (k / 2, λ / 2)}{Γ (k / 2)}

$p = 1−\frac{γ(k/2,λ/2)}{Γ(k/2)}$

onde é a função gama incompleta mais baixa. $\gamma(\cdot,\cdot)$

— Macro
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Obrigado pela sua resposta Macro, sua resposta é útil. Eu acho que o lugar em que estou preso é a função gama. Posso avançar na integração (embora meu cálculo esteja enferrujado), mas não entendo a função gama. Eu vou fazer uma pesquisa sobre isso. Meu objetivo é criar uma página da web que faça esses cálculos. Eu sei que um punhado deles já existe, meu principal objetivo ao fazer isso é entender completamente a matemática por trás dos resultados.

— Lenwood

Bem, se você espera encontrar uma solução exata que não envolva funções especiais (por exemplo, a função gama), acho que você continuará preso. A solução real é , em que denota a função gama incompleta mais baixa . Ambos e são definidos em termos de integrais, portanto, qualquer calculadora que você programar para o seu site terá de envolver uma rotina de integração numérica.

p = 1 - \frac{γ (k / 2, λ / 2)}{Γ (k / 2)}

$p = 1 - \frac{ \gamma(k/2, \lambda/2) }{\Gamma(k/2)}$

γ (\cdot, \cdot)

$\gamma(\cdot,\cdot)$

Γ

$\Gamma$

γ

$\gamma$

— Macro

Este foi um exercício muito divertido e eu aprendi muito nesse processo. Eu construí minha página da web calculando a probabilidade através de interpolação linear. Obrigado pela sua ajuda Marco.

— precisa

Sem problemas, Lenwood. Que tipo de erro você incorre? Você tem um link para o site?

— Macro

Venho executando a página no meu próprio sistema, mas vou colocá-la por alguns dias. Você pode vê-lo aqui, chisq.nfshost.com . À medida que passo mais tempo com isso, percebo que meus valores para são consistentes com outras calculadoras que já vi, mas não com R. Acredito que a diferença esteja no cálculo dos valores esperados. Vou postar isso como uma pergunta separada.

χ^{2}

$\chi^2$

— amigos estão