Regressão logística para dados de distribuições de Poisson

De algumas notas de aprendizado de máquina, falando sobre alguns métodos de classificação discriminativa, em particular a regressão logística, onde y é o rótulo da classe (0 ou 1) e x são os dados, diz-se que:

se $x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$ , e $x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$ , em seguida, $p(y|x)$ será logística.

Por que isso é verdade?

$Y$ tem dois valores possíveis para qualquer valor dado de$X$ . De acordo com as premissas,

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

e

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

Portanto (este é um caso trivial do Teorema de Bayes), a chance de condicional em é a probabilidade relativa deste último, a saber$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

Onde

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

e

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

Esse é realmente o modelo de regressão logística padrão.