Estatística matemática (momentos vs. momentos centrais)

Se (não necessariamente ser um inteiro), então como provar que a momento crua existe se e somente se o existe momento central? Acho que tenho que aplicar alguma desigualdade, mas não consigo descobrir. $r \ge 1$ $r^\text{th}$ $r^\text{th}$

mathematical-statistics

— Syeda
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Você deve adicionar a tag de auto-estudo e ler seu wiki.

— b Kjetil HALVORSEN

Duas propriedades salientes de números reais e são $x, y,$ $\mu$

As desigualdades do triânguloe
$| x - μ | \leq | x | + | μ |$ $|x-\mu| \le |x|+|\mu|$ $| x | \leq | x - μ | + | μ | .$ $|x| \le |x-\mu| + |\mu|.$
Aumentar a potência para preserva a ordem: e (portanto) $r$ $r \gt 0$
$| x | \leq | y | implies | x |^{r} \leq | y |^{r}$ $|x| \le |y| \text{ implies } |x|^r \le |y|^r$ $max (| x |^{r}, | y |^{r}) = max (| x |, | y |)^{r} .$ $\max(|x|^r, |y|^r) = \max(|x|,|y|)^r.$

Observe também o relacionamento simples

| x | + | y | \leq 2 max (| x |, | y |) .

$|x| + |y| \le 2\max(|x|, |y|).$

Conseqüentemente, para qualquer variável aleatória e número real , $X$ $\mu$

| X - μ |^{r} \leq {(| X | + | μ |)}^{r} \leq {(2 max (| X |, | μ |))}^{r} = 2^{r} max (| X |^{r}, | μ |^{r})

$|X-\mu|^r \le \left(|X| + |\mu|\right)^r \le \left(2\max\left(|X|, |\mu|\right)\right)^r = 2^r\max\left(|X|^r, |\mu|^r\right)$

| X |^{r} \leq {(| X - μ | + | μ |)}^{r} \leq \dots \leq 2^{r} max (| X - μ |^{r}, | μ |^{r}) .

$|X|^r \le \left(|X-\mu| + |\mu|\right)^r \le \cdots \le 2^r\max\left(|X-\mu|^r, |\mu|^r\right).$

Deixar e assumir expectativas estabelece as desigualdades necessárias. $\mu = \mathbb{E}(X)$

— whuber
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No RHS 2 ^ r está incluído; portanto, se o removermos, o RHS poderá ser pequeno / grande que o LHS, você pode explicar isso um pouco mais.

— Antora

Você só precisa mostrar que a finitude de um momento implica a finitude do outro, não que um seja realmente menor que o outro.

— whuber