Qual é o nome da distribuição com uma densidade de probabilidade como ?

8

Por favor, perdoe minha ignorância, qual é o nome da distribuição com uma densidade de probabilidade como esta? ou mais geralmente ou que é uma constante de normalização.

p (x) \propto \frac{1}{1 + e^{x}}, x > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + e^x},\quad x > 0\,,$

p (x) \propto \frac{1}{1 + α e^{β x}}, x > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

p (x) = η \frac{1}{1 + α e^{β x}}, x > 0,

$p(x) = \eta \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

η

$\eta$

probability distributions

— gwding
fonte

16

Isso é idêntico a uma distribuição comum na física chamada distribuição Fermi-Dirac, que descreve uma situação chamada estatística Fermi-Dirac . Em um determinado cenário da física, o número médio de partículas com uma energia é onde , , e são parâmetros físicos que provavelmente não são tão importantes para você (o potencial químico, constante de Boltzmann, ea temperatura). É trivial reinterpretá-lo como função de densidade de probabilidade para a energia de uma partícula. $\epsilon$

{\bar{n}}_{ϵ} = \frac{1}{e^{(ϵ - μ) / k T} + 1}

$\bar{n}_\epsilon = \frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}+1}$

μ

$\mu$

k

$k$

T

$T$

— jwimberley
fonte

obrigado! como também tenho um parâmetro que posso ajustar, você deve chamá-lo de "distribuição FD estendida / generalizada / modificada"? ou você tem alguma sugestão sobre esse tipo de convenção de nomenclatura?

α

$\alpha$

— gwding

2

@gwding Seu parâmetro alfa corresponde ao parâmetro "potencial químico" na distribuição FD: . Pode ser que você obtenha mais informações sobre a natureza da distribuição usando algo mais próximo da forma física, com no denominador. Coincidentemente, é frequentemente indicado como na física; portanto, sua convenção de nomenclatura para esse parâmetro é a mesma!

α = \exp (- μ / k T)

$\alpha = \exp(-\mu/kT)$

\exp (β (x - x_{0}))

$\exp(\beta(x-x_0))$

1 / k T

$1/kT$

β

$\beta$

— jwimberley

9

A constante de normalização para a primeira deve ser (não que isso realmente importe para a presente pergunta). $\frac{1}{\ln(2)}$

Não estou ciente de ter um nome. A primeira (sem a constante de normalização ) é a função sobrevivente de uma distribuição logística truncada, mas eu não a vi usada para uma função de densidade (embora eu espere que provavelmente tenha sido nomeada várias vezes ... esse é geralmente o caso de formas funcionais simples que não são muito usadas, em que as pessoas "reinventam" essas coisas sem encontrar idéias anteriores, que geralmente estão em diferentes áreas de aplicação *). $\log(2)$

Se você quiser nomeá-lo, provavelmente por causa da forma funcional do tipo logística, você poderá apertar a palavra "logística" em algum lugar, mas a dificuldade seria escolher um nome que o distingue suficientemente do densidade logística.

* e a resposta de jwimberly oferece uma dessas áreas de aplicação. O nome " distribuição Fermi-Dirac " parece uma escolha perfeitamente razoável se você não tiver um nome na área de aplicação em que está trabalhando.

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

1

Uma densidade que se integra à unidade acima de seria $[0,\infty]$

f_{X} (x) = \frac{θ}{\ln 2} \frac{1}{1 + e^{θ x}}, θ > 0

$f_X(x) = \frac {\theta}{\ln 2}\frac{1}{1+e^{\theta x}},\;\;\; \theta >0$

Momentos brutos são dados por

E (X^{k}) = \frac{(1 - 2^{- k})}{\ln 2} \frac{1}{θ^{k}} \cdot Γ (k + 1) \cdot ζ (k + 1)

$E(X^k) = \frac {(1-2^{-k})}{\ln 2} \frac {1}{\theta^{k}}\cdot \Gamma(k+1) \cdot \zeta(k+1)$

onde é a função Gamma e é a função Riemann zeta. assim $\Gamma()$ $\zeta()$

E (X) = \frac{π^{2}}{12 \cdot \ln 2} θ^{- 1} \approx 1.1866 \cdot θ^{- 1}

$E(X) = \frac {\pi^2}{12\cdot \ln 2}\theta^{-1} \approx 1.1866 \cdot \theta^{-1}$

E (X^{2}) \approx \frac{7.212}{4 \cdot \ln 2} θ^{- 2} \approx 2.601 \cdot θ^{- 2}

$E(X^2) \approx \frac {7.212}{4\cdot \ln 2}\theta^{-2} \approx 2.601 \cdot \theta^{-2}$

levando a

Var (X) \approx 1.193 \cdot θ^{- 2}

$\text{Var}(X) \approx 1.193 \cdot \theta^{-2}$

Cálculos numéricos verificam estes.

— Alecos Papadopoulos
fonte

1

Como isso responde à pergunta?

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Costumo ter uma visão mais ampla de "qual é a questão". Veja este post, meta.stats.stackexchange.com/q/2158/28746 , onde eu avanço meu argumento e ofereço também alguns dados cv para fazer backup. Além disso, oferecer a expressão do momento para uma distribuição que não foi estudada é um conhecimento útil para qualquer pessoa interessada em usá-la.

— Alecos Papadopoulos

Eu concordo com as suas conclusões na meta que você mencionou: "Os momentos deste PDF são X" não é uma resposta mais ampla à pergunta "Como esse PDF é chamado?". A distribuição também já foi estudada antes, como outras respostas se referem.

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Como já escrevi, minha principal preocupação e critério é se há informações relevantes e úteis presentes neste tópico - e é. A conexão com a distribuição Fermi-Dirac foi observada nas outras respostas, mas não vi uma expressão explícita para os momentos brutos. É um fenômeno comum que as respostas em CV não sejam competitivas, mas complementares, cada uma fornecendo alguma informação / conhecimento útil.

— Alecos Papadopoulos