Como posso provar que a função de distribuição cumulativa é contínua?

Aprendi em meus cursos de probabilidade que a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória é contínua e correta. É possível provar isso?$F$$X$

Para provar a continuidade correta da função de distribuição, você deve usar a continuidade acima de , que provavelmente provou em um dos seus cursos de probabilidade.$P$

Lema. Se uma sequência de eventos estiver diminuindo, no sentido de para cada , então , em que .$\{A_n\}_{n\geq 1}$$A_n\supset A_{n+1}$$n\geq 1$$P(A_n)\downarrow P(A)$$A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

Vamos usar o lema. A função de distribuição é contínua em algum momento se e somente se para cada seqüência decrescente de números reais modo que tenha .$F$$a$$\{x_n\}_{n\geq 1}$$x_n\downarrow a$$F(x_n)\downarrow F(a)$

Defina os eventos , para . Vamos provar que$A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

Em uma direção, se para cada , já que , temos .$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$$x_n\downarrow a$$X(\omega)\leq a$

Na outra direção, se , vez que para cada , temos , para cada .$X(\omega)\leq a$$a\leq x_n$$n\geq 1$$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$

Usando o lema, o resultado é o seguinte:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$