O que é cov (X, Y), onde X = min (U, V) e Y = máx (U, V) para variáveis ​​normais independentes (0,1) U e V?

Deixei:

• $U, V \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$ , ou seja, variáveis ​​aleatórias normais padrão independentes.
• $X=\min(U,V)$
• $Y=\max(U,V)$

Qual é a covariância de $X$ e $Y$ ?

Relacionado: O que é cov (X, Y), onde X = min (U, V) e Y = max (U, V) para variáveis uniformes independentes (0,1) U e V?

$\newcommand{\E}{\mathrm{E}}$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}$ $\newcommand{\cov}{\mathrm{Cov}}$ $\newcommand{\Expect}{{\rm I\kern-.3em E}}$

Como conseqüência direta da definição de covariância, $\cov (X,Y)= \E(XY)-\E(X)\E(Y)$ .

Fato 1: ( soma das variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas )é uma variável aleatória semi-normal com o parâmetro
$U, V \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$
$\Rightarrow U - V \sim \mathcal{N}(0,2)$
$\Rightarrow |U - V|$$\sigma = \sqrt2$
$\Rightarrow \E (|U - V|) = \frac{\sigma\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$

Fato 2: ( linearidade da expectativa ). Temos . Como resultado, .
$\E(X)+\E(Y) = \E(X+Y)$$\E(X+Y) = \E (\min(U,V)+\max(U,V))= \E(U+V) = \E(U)+\E (V) = 0 + 0 = 0$$\E(Y) = -\E(X)$

Fato 3:
Como: , portanto$Y-X = |U - V|$
$2\E(Y) = \E(Y)-\E(X) = \E(Y-X) = \E (|U - V|)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}$$\E(Y)= \frac{2}{2\sqrt{\pi}}= \frac{1}{\sqrt{\pi}}$

Fato 4:
Como , temos$XY=UV$$\E(XY)=\E(UV)=\E (U)\E (V)=0$

Usando esses fatos: .$\cov (X,Y)= \E(XY)-\E(X)\E(Y)= 0 + \E(Y)\E(Y) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}=\frac{1}{\pi}$