Por que P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?

Eu entendo $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ . A condicional é a interseção de A e B dividida por toda a área de B.

Mas por que $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

Você pode dar alguma intuição?

Não deveria ser: $P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$ ?

Qualquer resultado de probabilidade verdadeiro para probabilidade incondicional permanecerá verdadeiro se tudo estiver condicionado a algum evento.

Você sabe que, por definição, e, se condicionarmos tudo emC, obtemos que P(A∣(B∩C))=P(

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$$ $C$ exatamente como sua intuição diz. Mas, você pode definirD=B∩C e começar com a definição deP(A∣(B∩C))=P(A∣D)como em(1)P(A∣(B∩C))=P(A∣D)=P $$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$$ $D = B\cap C$$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$$(1)$ e multiplique e divida porP(C))à direita de(3)para escrever o resultado final como(2)como na resposta de Taylor. $$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$$ $P(C))$$(3)$$(2)$

$$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$

$$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$$

Minha intuição é a seguinte ...

$C$$C$$C$

$C$$X$$\hat{P}(X)$

$$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$$

Agora, você como terráqueo, conhece um mundo onde $C$não faz parte das suposições da vida cotidiana. Então, quando você vem ao nosso planeta, pode perceber imediatamente que todas as nossas probabilidades$\hat P(X)$ realmente corresponde ao seu $P(X|C)$.

Você pode reescrever imediatamente o RHS, seguindo a descoberta superior:

$$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$$

Mas ... O que é o LHS? Bem, qual é a probabilidade de$A$ quando $B$ é dado quando $C$é (também) dado? Precisamente

$$P(A\mid B\cap C)\text{,}$$ daí a fórmula.