Cálculo do erro padrão na estimativa da média ponderada

Suponha que $w_1,w_2,\ldots,w_n$ e $x_1,x_2,...,x_n$ são cada iid extraído de algumas distribuições, com $w_i$ independente de $x_i$ . O $w_i$ é estritamente positivo. Você observa todo o $w_i$ , mas não o $x_i$ ; em vez disso você observa $\sum_i x_i w_i$ . Estou interessado em estimar $\operatorname{E}\left[x\right]$ partir desta informação. Claramente, o estimador

$$\bar{x} = \frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i}$$ é imparcial, e pode ser calculada tendo em conta a informação na mão.

Como posso calcular o erro padrão deste estimador? Para o sub-caso em que $x_i$ obtém apenas os valores 0 e 1, tentei ingenuamente

$$se \approx \frac{\sqrt{\bar{x}(1-\bar{x})\sum_i w_i^2}}{\sum_i w_i},$$ basicamente ignorando a variabilidade na$w_i$, mas descobriu que este mau desempenho de amostras de tamanho menor do que em torno de 250. (E isso provavelmente depende da variação do .) Parece que talvez eu não fazer tenha informações suficientes para calcular um erro padrão 'melhor'.$w_i$

Encontrei o mesmo problema recentemente. A seguir, o que eu encontrei:

Diferentemente de uma amostra aleatória simples com pesos iguais, não existe uma definição amplamente aceita de erro padrão da média ponderada . Hoje em dia, seria fácil executar uma inicialização e obter a distribuição empírica da média e, com base nessa estimativa, o erro padrão.

E se alguém quisesse usar uma fórmula para fazer essa estimativa?

A principal referência é este artigo , de Donald F. Gatz e Luther Smith, onde três estimadores baseados em fórmulas são comparados com os resultados de bootstrap. A melhor aproximação ao resultado do bootstrap vem de Cochran (1977):

$(SEM_w)^2={\dfrac{n}{(n-1)(\sum {P_i})^2}}[\sum (P_i X_i-\bar{P}\bar{X}_w)^2-2 \bar{X}_w \sum (P_i-\bar{P})(P_i X_i-\bar{P}\bar{X}_w)+\bar{X}^2_w \sum (P_i-\bar{P})^2]$

A seguir, está o código R correspondente que veio desse encadeamento do R listserve .

weighted.var.se <- function(x, w, na.rm=FALSE)
#  Computes the variance of a weighted mean following Cochran 1977 definition
{
  if (na.rm) { w <- w[i <- !is.na(x)]; x <- x[i] }
  n = length(w)
  xWbar = weighted.mean(x,w,na.rm=na.rm)
  wbar = mean(w)
  out = n/((n-1)*sum(w)^2)*(sum((w*x-wbar*xWbar)^2)-2*xWbar*sum((w-wbar)*(w*x-wbar*xWbar))+xWbar^2*sum((w-wbar)^2))
  return(out)
}

Espero que isto ajude!

$w_i$

$$\frac{\sum w_i^2 Var(X)}{(\sum w_i)^2} = Var(X) \frac{\sum w_i^2 }{(\sum w_i)^2}.$$ $w_i$ $$Var(X) \mathbb{E}\left(\frac{\sum w_i^2 }{(\sum w_i)^2}\right)$$ $X_i$$Var(X)$, without making rather severe assumptions.