Termos de erro do modelo de média móvel

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Essa é uma pergunta básica nos modelos da Box-Jenkins MA. Como eu entendo, um modelo MA é, basicamente, uma regressão linear de séries temporais valores $Y$ contra anterior termos de erro $e_t,..., e_{t-n}$ . Isto é, a observação $Y$ é primeiro regredido contra a sua valores anteriores $Y_{t-1}, ..., Y_{t-n}$ e, em seguida, um ou mais valores são utilizados como os termos de erro para o modelo MA. $Y - \hat{Y}$

Mas como os termos de erro são calculados em um modelo ARIMA (0, 0, 2)? Se o modelo MA for usado sem uma parte autorregressiva e, portanto, sem valor estimado, como posso ter um termo de erro?

— Robert Kubrick
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1

Não, eu acho que você está confundindo a definição de um modelo MA (n), onde a regressão é apenas em termos de

e_{t - i}

$e_{t-i}$ 's, com sua estimativa, onde o

e_{t - i}

$e_{t-i}$ ' s são estimados a partir dos dados .

— Xi'an

1

O principal problema em sua pergunta é que você diz que o modelo MA é basicamente uma regressão linear. Isso simplesmente não é verdade, pois não observamos termos de erro.

— precisa saber é o seguinte

Eu acho que o termo de erro é realmente

Y_{t} - \hat{Y_{t}}

$Y_t - \hat{Y_t}$ , onde

é

ou simplesmente

. É por isso que uma estimativa de parâmetro do modelo MA é derivada de um padrão recorrente na função de autocorrelação parcial

, que é o comportamento dos resíduos. Em vez disso, a estimativa do parâmetro AR é baseada em um padrão recorrente do acf (Y).

\hat{Y}

$\hat{Y}$

E (Y | Y_{t, . . ., t - n})

$E(Y|Y_{t,...,t-n})$

Y_{t} - Y_{t - 1}

$Y_t - Y_{t-1}$

Y

$Y$

— Robert Kubrick

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Estimativa do Modelo MA:

Vamos assumir uma série com 100 pontos no tempo e dizer que isso é caracterizado pelo modelo MA (1) sem interceptação. Então o modelo é dado por

y_{t} = ε_{t} - θ ε_{t - 1}, t = 1, 2, \dots, 100 (1)

$y_t=\varepsilon_t-\theta\varepsilon_{t-1},\quad t=1,2,\cdots,100\quad (1)$

O termo de erro aqui não é observado. Então, para obter isso, Box et al. Análise de séries temporais: previsão e controle (3ª edição) , página 228 , sugerem que o termo do erro é calculado recursivamente por,

ε_{t} = y_{t} + θ ε_{t - 1}

$\varepsilon_t=y_t+\theta\varepsilon_{t-1}$

Portanto, o termo de erro para é, Agora não podemos calcular isso sem conhecer o valor de . Portanto, para obter isso, precisamos calcular a estimativa inicial ou preliminar do modelo, consulte Box et al. do referido livro, a Seção 6.3.2, página 202, declara que, $t=1$

ε_{1} = y_{1} + θ ε_{0 0}

$\varepsilon_{1}=y_{1}+\theta\varepsilon_{0}$

θ

$\theta$

Foi demonstrado que as primeiras autocorrelações do processo MA ( ) são diferentes de zero e podem ser escritas em termos dos parâmetros do modelo como $q$ $q$ A expressão acima para em termos , fornece equações em incógnitas. Estimativas preliminares dos s podem ser obtidas substituindo as estimativas por na equação acima
$ρ_{k} = \frac{- θ_{k} + θ_{1} θ_{k + 1} + θ_{2} θ_{k + 2} + \dots + θ_{q - k} θ_{q}}{1 + θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2} + \dots + θ_{q}^{2}} k = 1, 2, \dots, q$ $\rho_k=\displaystyle\frac{-\theta_{k}+\theta_1\theta_{k+1}+\theta_2\theta_{k+2}+\cdots+\theta_{q-k}\theta_q}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2}\quad k=1,2,\cdots, q$ $\rho_1,\rho_2\cdots,\rho_q$ $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$ $q$ $q$ $\theta$ $r_k$ $\rho_k$

$r_k$ $\theta=0.5$

ε_{1} = y_{1} + 0.5 ε_{0}

$\varepsilon_{1}=y_{1}+0.5\varepsilon_{0}$

ε_{0}

$\varepsilon_0$

t

$t$

ε_{1}

$\varepsilon_1$

Probabilidade condicional
Probabilidade incondicional

$\varepsilon_0$ $n$ $\varepsilon_0$

$\varepsilon_0$ $(1)$

$\theta$

No geral, eu recomendo que você leia Box et al. Análise de Séries Temporais: Previsão e Controle (3ª Edição) .

— Al-Ahmadgaid Asaad
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r_{k}

$r_k$

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Y_{t} = - \sum_{Eu = 1}^{q} ϑ_{Eu} e_{t - Eu} + σ e_{t}, e_{t} \overset{iid}{\sim} N (0 0, 1)

$Y_t = -\sum_{i=1}^q \vartheta_i e_{t-i} + \sigma e_t,\quad e_t\stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$

q

$q$

— Xi'an
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1

e_{t}

$e_t$

e_{t}

$e_t$

q

$q$

1

Por que há menos na sua fórmula? Normalmente, o sinal de menos é para modelos de RA. Matematicamente não é um problema, estou apenas curioso, pois nunca vi menos nos modelos de MA.

— precisa saber é o seguinte

3

e_{t}

$e_t$

1

Y

$Y$

E (Y)

$E(Y)$

1

$Y$ $Y_{t−1},...,Y_{t−n}$ $Y−\hat{Y}$ $Y$ $e_{t-1}$ $e_{t−2}$ $e_t$ $\theta_1$ $e_{t-1}$ $\theta_2$ $e_{t-2}$ $e_t$ $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

— IrishStat
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Quais são as outras 2 séries de preditores? Estou perguntando, porque quando olho para a literatura que tenho, ela nunca está claramente especificada. Essas duas outras séries não estão relacionadas a

Y

$Y$ ? Tive a impressão de que toda a formulação ARIMA se limita ao

Y

$Y$ Series.

— 21812 Robert Kubrick

1

Os 2 preditores são os atrasos dos termos de erro. Uma vez que estes não são conhecidos a priori, uma vez que não conhecemos os termos do erro antes de começar, é por isso que isso deve ser tratado por uma estimativa não linear. A confusão que você está tendo é que um modelo finito no passado (ou seja, um AR MODEL) é potencialmente infinito nos erros E um modelo que é finito nos erros (ou seja, um MA MODEL) é potencialmente infinito no passado de Y. A razão pela qual se seleciona um AR MODEL versus um MA MODEL é por parcimônia. Às vezes, construímos um ARMA MODEL que combina a história de Y e a história dos erros.

— amigos estão dizendo sobre ireland

1

Como comentei na outra resposta, o que ainda falta é qual é a previsão ideal para

Y

$Y$ , que é usado para calcular a inovação

e_{t - n}

$e_{t-n}$ .

— Robert Kubrick

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Veja meu post aqui para obter uma explicação de como entender os termos de perturbação em uma série MA.

Você precisa de diferentes técnicas de estimativa para estimar. Isso ocorre porque você não pode obter primeiro os resíduos de uma regressão linear e depois incluir os valores residuais defasados como variáveis explicativas, porque o processo MA usa os resíduos da regressão atual. No seu exemplo, você está fazendo duas equações de regressão e usando resíduos de uma para a outra. Não é isso que é um processo de MA. Não pode ser estimado com o OLS.

— JoeDanger
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