Como encontrar a probabilidade de domingos extras em um ano bissexto?

Qual é a chance de um ano bissexto ter 53 domingos?

Conforme meu julgamento, será 2/7? Como 366 dias em um ano bissexto significa 52 semanas e mais 2 dias, portanto, a partir dos dois dias extras, a probabilidade de domingo é 2/7.

PS: Essa foi uma pergunta que encontrei em um livro de estatísticas básicas.

probability self-study

— Manali Chatterjee
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1. Você diz "ano não bissexto" em seu primeiro parágrafo, mas seu segundo parágrafo discute claramente anos bissextos (que têm 366 dias - contrariando o primeiro parágrafo). Esclareça sua pergunta. (Você também deve deixar claro como essa questão surge; ela está relacionada aos cursos, por exemplo? Se não, como ela surge?)

— Glen_b -Reinstate Monica

2. A ocorrência de domingos não é um processo aleatório. Qualquer ano dado terá um número exato e invariável de domingos, conhecido antes de você observar o ano. Para que a pergunta faça algum sentido como uma pergunta de probabilidade, você precisará colocar uma seleção aleatória de anos (da qual você não faz menção), mas para chegar a qualquer lugar, precisamos entender como os anos estão sendo selecionados e de qual população fictícia (o calendário atual tem apenas algumas centenas de anos; o número real de anos nos 53 domingos provavelmente não é de 2 a 7 dias. Mais uma vez, por favor, esclareça a natureza de sua pergunta.

— Glen_b -Reinstate Monica

Olá, glen_b, obrigado por identificar meu erro ao digitar. Sim, a pergunta é apenas para os anos bissextos. I ter editado a questão bem como

— Manali Chatterjee

Obrigado por responder ao meu ponto 1. Adicionei a self-studytag - veja os comentários no centro de ajuda sobre problemas de rotina nas livrarias (discutidos na lição de casa , mas isso se aplica a qualquer problema de livro didático como este). Há esclarecimentos adicionais realmente necessários em relação ao ponto 2 (relacionados ao que é a população presumida e ao modelo de amostragem), embora se você citar diretamente a pergunta original, o esclarecimento necessário poderá então mudar para uma suposição necessária para uma resposta.

— Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

O calendário gregoriano favorece cinco dos sete dias da semana durante os anos bissextos. Portanto, a chance não é precisamente . $2/7$

Este foi essencialmente o problema B3 no Concurso de Matemática Putnam de 1950 :

$n$ é escolhido aleatoriamente entre os números naturais. Mostre que a probabilidade de 25 de dezembro no ano ser quarta-feira não é 1/7. $n$

No calendário gregoriano , anos com múltiplos de são anos bissextos (com dias), mas anos com múltiplos de não são anos bissextos (e, portanto, têm dias), com exceção dos anos múltiplos de anos bissextos. (Muitos de nós lembramos da exceção mais recente em ) Isso cria um ciclo de anos contendo anos bissextos. $4$ $7\times 52 + 2=366$ $100$ $7\times 52+1=365$ $400$ $2000$ $400$ $400/4 - 400/100 + 400/400 = 97$

O que é especialmente interessante é que o número total de dias nesse ciclo é um múltiplo inteiro de sete:

400 \times (7 \times 52 + 1) + 97 \times 1 \equiv 400 + 97 \equiv 71 \times 7 \equiv 0 \mod 7.

$400 \times (7\times 52 + 1) + 97 \times 1 \equiv 400+97 \equiv 71 \times 7 \equiv 0 \operatorname{mod} 7.$

Isso mostra que o ciclo de anos compreende um número inteiro de semanas. Consequentemente, o padrão de dias da semana é exatamente o mesmo de um ciclo para o outro. $400$

Podemos, portanto, interpretar a pergunta como pedindo a chance de domingos ao amostrar aleatoriamente e uniformemente qualquer ciclo de anos de anos bissextos. Um cálculo de força bruta (usando, digamos, o fato de que 1º de janeiro de 2001 era uma segunda-feira) mostra que dos anos bissextos em cada ciclo têm domingos. Portanto, a chance é $53$ $400$ $28$ $97$ $53$

Pr (53 Sundays) = \frac{28}{97} .

$\Pr(53\text{ Sundays}) = \frac{28}{97}.$

Observe que isso não é igual a : é um pouco maior. Aliás, há a mesma chance de quartas, sextas, sábados ou segundas-feiras e apenas de terças ou quintas-feiras. $28/98 = 2/7$ $53$ $27/97$ $53$

Para aqueles que desejam fazer cálculos mais detalhados (e podem desconfiar de qualquer simplificação matemática), aqui está o código de força bruta que calcula e examina todos os dias da semana por um determinado conjunto de anos. No final, exibe o número de anos com aparições de cada dia da semana. Está escrito em . $53$ R

Aqui está sua saída para o ciclo : $2001-2400$

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28

Aqui está o próprio código.

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

— whuber
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Na minha opinião, isso mostra exatamente o tipo de cuidado necessário para entender a questão. Sem uma população definida e algum processo aleatório de seleção de anos, nem faz sentido falar em probabilidade em relação ao número de domingos em um ano; Eu acho que o "2/7" (que o autor da pergunta provavelmente queria) não é prontamente defensável como resposta - assim que você tenta fazer com que esse trabalho funcione, todos os tipos de problemas se tornam aparentes e é preciso calçar um sapato. restrição artificial no período considerado que não está em questão.

— Glen_b -Reinstala Monica

Sim, seu raciocínio está correto. A longo prazo, os anos bissextos têm quase a mesma probabilidade de começar em qualquer dia da semana. Portanto, a chance dos 2 dias extras, incluindo um domingo, é de cerca de 2/7.

w huber ressalta que uma peculiaridade do calendário gregoriano faz com que o dia inicial de um ano bissexto não seja distribuído de maneira bastante uniforme; portanto, a verdadeira probabilidade de 53 domingos é de 1% ou mais que 2/7. No entanto, 2/7 é quase certamente a resposta que os autores do seu livro de estatísticas pretendiam encontrar.

— Gordon Smyth
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Para estar correta, essa resposta requer algumas suposições muito específicas: exatamente em que intervalo de anos você tem em mente? Para a maioria dos intervalos, não será a resposta certa.

2 / 7

$2/7$

— whuber

@ huber Não tenho dúvidas de que 2/7 é a resposta pretendida pelos autores do livro didático de que a pergunta é. O detalhamento de sua resposta é correto e interessante, mas eu diria que não ajuda o OP a aprender estatísticas básicas.

— Gordon Smyth

Concordo com a maior parte disso, principalmente por não ajudar a aprender estatística - mas essa crítica deve ser feita no livro, não na solução para o seu exercício. O que pode ser de especial interesse aqui é ilustrar o processo de análise de uma pergunta - mesmo uma pergunta de livro didático - e mostrar que às vezes a resposta intuitivamente "óbvia" não é muito correta. Surpresas como essa nos ensinam muito. Além disso, às vezes grandes consequências decorrem de pequenas diferenças. (Agora estou trabalhando em um caso em que uma diferença desse tamanho altera uma reivindicação legal em um milhão de dólares.)

— whuber

Nenhuma crítica pretendida. Pessoalmente, estou feliz com a pergunta do livro e com a sua solução excelente e inesperada.

— Gordon Smyth