Raciocínio e condicionamento freqüentista nas observações (exemplo de Wagenmakers et al.)

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Não sou especialista em estatística, mas entendo que há divergências sobre se uma interpretação "freqüentista" ou "bayesiana" da probabilidade é a "certa". De Wagenmakers et. al p. 183:

Considere uma distribuição uniforme com média e largura . Desenhar dois valores aleatoriamente a partir desta distribuição, rotular o menor e um dos maiores , e verificar se a média encontra-se entre e . Se esse procedimento for repetido muitas vezes, a média ficará entre e na metade dos casos. Assim, fornece um intervalo de confiança freqüente de 50% para . Mas suponha que, para um empate em particular, e $\mu$ $1$ $s$ $l$ $\mu$ $s$ $l$ $\mu$ $s$ $l$ $(s, l)$ $\mu$ $s = 9.8$ $l = 10.7$ . A diferença entre esses valores é de $0.9$ e isso abrange 9/10 do intervalo da distribuição. Portanto, para esses valores particulares de $s$ e $l$ , podemos estar 100% confiantes de que $s < \mu < l$ , mesmo que o intervalo de confiança freqüente o faça acreditar que você deve ter apenas 50% de confiança.

Existem pessoas que realmente acreditam que há apenas 50% de confiança neste caso ou é um homem de palha?

Acho que de maneira mais geral, o livro parece dizer que os freqüentadores não podem expressar uma afirmação condicional como "Dados $s = 9.8$ e $l = 10.7$ , $s<\mu<l$ com probabilidade 1". É verdade que o condicionamento implica raciocínio bayesiano?

— Xodarap
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Todas as três respostas atuais são muito boas. Eu acrescentaria apenas que a Wagenmakers está fazendo um argumento de palha no sentido de que nenhum estatístico freqüentador jamais recomendaria esse intervalo de confiança - ele existe na literatura apenas como exemplo de um intervalo de confiança patológico. Do ponto de vista freqüentista, demonstra que a cobertura da confiança por si só não é suficiente para uma boa inferência. (Eu sou bayesiano.) #

— Cyan

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Há alguns truques intricados envolvidos. O intervalo de confiança não usa as informações de que o intervalo do uniforme é 1 e, portanto, não é paramétrico, enquanto a alegação feita sobre a amostra com faz e é altamente dependente do modelo. Tenho certeza de que é possível melhorar a cobertura ou a duração (esperada) do intervalo de confiança se essas informações forem levadas em consideração. Por um lado, os pontos finais da distribuição estão no máximo distância de ou . Portanto, um intervalo de confiança de 100% para é . $(s,l)$ $l-s=0.9$ $1-(l-s)$ $s$ $l$ $\mu$ $(l-1/2, s+1/2)$

Esse problema específico se enquadra no domínio de inferência para distribuições parcialmente identificadas estudadas nos últimos 10 a 15 anos extensivamente em econometria teórica. A probabilidade e, portanto, bayesiana, a inferência para a distribuição uniforme é feia, uma vez que constitui um problema não regular (o suporte à distribuição depende do parâmetro desconhecido).

— StasK
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Duvido que você possa reduzir o comprimento esperado abaixo de para obter um intervalo de confiança de 50% em uma amostra de 2 itens.

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

— Henry

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Estou hesitante em responder a isso. Estes cravos freqüentistas x bayesianos são geralmente improdutivos e podem ser desagradáveis e juvenis. Por que vale a pena, os Wagenmakers são um grande negócio, enquanto os filósofos chineses de 3 anos ou mais de idade, por outro lado esquecidos, por outro lado ...

No entanto, eu argumentaria que a interpretação freqüentista padrão de um intervalo de confiança de 50% não é que você deva estar 50% confiante de que o verdadeiro valor está dentro do intervalo ou que existe uma probabilidade de 50% disso. Em vez disso, a ideia é simplesmente que, se o mesmo processo fosse repetido indefinidamente, a porcentagem de ICs que incluía o valor verdadeiro convergiria para 50%. Para qualquer intervalo único, no entanto, a probabilidade de incluir o valor verdadeiro é 0 ou 1, mas você não sabe qual .

— - Reinstate Monica
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Eu acho que é um argumento fraco para um caso forte.

$(s,l)$ pode ser um intervalo de confiança de 50% no sentido definido, mas também , e acho que o último pode ser justificado como melhor nessas circunstâncias, pois se estende sem ajustes adicionais para amostras maiores; observe também que este último intervalo de confiança nunca é maior que e sua largura esperada para uma amostra de tamanho é . $\left(\dfrac{3l+s-1}{4},\dfrac{3s+l+1}{4}\right)$ $\frac12$ $n$ $\frac{1}{n+1}$

— Henry
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No exemplo citado da amostra , minha alternativa sugerida daria o intervalo de confiança de , que é claramente a metade do meio do intervalo de confiança lógico de

{9.8, 10.7}

$\{9.8, 10.7\}$

50 %

$50\%$

[10.225, 10.275]

$[10.225,10.275]$

100 %

$100\%$

[10.2, 10.3]

$[10.2,10.3]$

— Henry