Terceiro momento central da soma de um número aleatório de variáveis aleatórias iid

Inspirado por essa pergunta , tentei obter uma expressão para o terceiro momento central de uma soma de um número aleatório de variáveis aleatórias iid. Minha pergunta é se está correto e, se não, o que está errado ou que suposições adicionais podem estar faltando.

Especificamente, deixe:

S = \sum_{1}^{N} X_{i},

$S=\sum_1^N{X_i},$ que é uma variável aleatória com valor inteiro não negativa.

N

$N$

Suponha-se que as distribuições de ambos e são conhecidos (e são iid), que quer conhecer o valor do terceiro momento central de . $N$ $X$ $X_i$ $S$

Usando a lei da cumulidade total:

μ_{3} (S) = E [μ_{3} (S | N)] + μ_{3} (E [S | N]) + 3 c o v (E [S | N], V [S | N]),

$\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),$

mas , e, se eu estiver certo, . Conseqüentemente: $E[S|N]=N\cdot E[X]$ $E[S|N]=N\cdot V[X]$ $\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X]$

μ_{3} (S) = E [N \cdot μ_{3} (X)] + μ_{3} (N \cdot E [X]) + 3 c o v (N \cdot E [X], N \cdot V [X]),

$\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]),$

e, como os momentos de devem ser conhecidos: $X$

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] c o v (N, N)

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)$

Claro, , então: $cov(N,N)=V[N]$

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] V [N]

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N]$

Está certo? O que está errado? Que suposições adicionais estou faltando?

random-variable moments

— Rafael
fonte

Seus passos parecem certos para mim. Precisamos assumir que os momentos existem. O único passo que eu não tinha certeza era . Mas podemos provar que: $\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

\begin{aligned} μ_{3} (S | X) & = E [(S - E [S])^{3} | N] \\ = E [{(\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - E [X]))}^{3} | N] \\ = E [\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - E [X])^{3} | N] \end{aligned}

$\begin{align} \mu_3(S | X) &= E\left[(S - E[S])^3 | N \right] \\ &= E\left[ \left( \sum_{i=1}^N (X_i - E[X]) \right)^3 \middle| N \right] \\ &= E \left[ \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^3 \middle| N\right] \end{align}$ onde estabelecer a última igualdade, podemos usar o teorema multinomial. Para um dado ,

n

$n$

\begin{aligned} E [{(\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E [X]))}^{3}] & = E [\sum_{\sum_{i = 1}^{n} k_{i} = 3} (\binom{3}{k_{1}, \dots, k_{n}}) (X_{1} - E [X])^{k_{1}} \dots (X_{n} - E [X])^{k_{n}}] \\ = E [\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E [X])^{3}], \end{aligned}

$\begin{align} E\left[ \left( \sum_{i=1}^n (X_i - E[X]) \right)^3 \right] &= E \left[ \sum_{\sum_{i=1}^n k_i = 3} {3 \choose{k_1, \ldots, k_n}} (X_1 - E[X])^{k_1} \cdots (X_n - E[X])^{k_n} \right] \\ &= E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - E[X])^3 \right], \end{align}$ porque quando para qualquer , existe outro onde (devido à independência de e e ao fato de que a expectativa de é zero, fazendo com que esse termo específico se torne zero). Agora deve ficar claro que .

k_{i} = 2

$k_i = 2$

i

$i$

j

$j$

k_{j} = 1

$k_j=1$

X_{i}

$X_i$

X_{j}

$X_j$

X_{j} - E [X]

$X_j - E[X]$

μ_{3} (S | X) = N \cdot μ_{3} [X]

$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

— irregular
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