probabilidade de gama maior que exponencial

Deixei $X \sim Gamma(3,3)$ e . $Y \sim Exp(1)$

Como calculo ? $P(X>Y)$

Acredito reescrevê-lo como mas não tenho certeza de como calcular para duas distribuições diferentes? $P(X-Y>0)$ $X-Y$

probability distributions exponential

— Joe Stats
fonte

Possível duplicado de Diferença de variáveis aleatórias Gama

— COOLSerdash

Aqui está um artigo que trata do seu problema. Eu acredito que é possível obter uma densidade aproximada para no seu caso. Observe que uma distribuição exponencial padrão é uma distribuição .

X - Y

$X-Y$

G a m m a (1, 1)

$\mathrm{Gamma}(1, 1)$

— COOLSerdash

@COOL Embora essa abordagem funcione, parece uma maneira excessivamente complicada de encontrar uma única probabilidade: não precisamos descobrir toda a distribuição da diferença.

— whuber

A suposição crucial de independência de e está ausente.

X

$X$

Y

$Y$

— StubbornAtom

Respostas:

Se tiver a função de densidade e independente possui a função de densidade e depois $X$ $\lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{\{x\colon x > 0\}}$ $Y$ $\exp(-y)\mathbf 1_{\{y\colon x > 0\}}$

\begin{aligned} P {X < Y} & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- λ x) \int_{x}^{\infty} \exp (- y) d y d x \\ = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- (λ + 1) x) d x \\ = {(\frac{λ}{λ + 1})}^{3} \int_{0}^{\infty} (λ + 1) \frac{((λ + 1) x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- (λ + 1) x) d x \\ = {(\frac{λ}{λ + 1})}^{3} . \end{aligned}

$\begin{align} P\{X < Y\} &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x) \int_{x}^\infty \exp(-y)\, \mathrm dy \, \mathrm dx\\ &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3\int_{0}^\infty (\lambda+1) \frac{((\lambda+1) x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3. \end{align}$

Considere também um processo de Poisson com taxa de chegada . Podemos decompor esse processo em dois subprocessos independentes de Poisson e de taxas e respectivamente, rotulando cada chegada como pertencendo ao processo (com probabilidade ) ou para o processo (com probabilidade ), com cada rótulo sendo escolhido independentemente de todos os outros rótulos. Então, pode ser considerado o horário da terceira chegada (após ) no $\lambda+1$ $\mathcal X$ $\mathcal Y$ $\lambda$ $1$ $\mathcal X$ $\frac{\lambda}{\lambda+1}$ $\mathcal Y$ $\frac{1}{\lambda+1}$ $X$ $t = 0$ $\mathcal X$ subprocesso enquanto é o horário da primeira chegada (após ) no subprocessoCom essa interpretação, é apenas o evento em que as três primeiras chegadas após foram rotuladas como pertencentes ao subprocesso , e esse evento tem probabilidade . Olha mãe! Nenhuma integral foi calculada para chegar à resposta! $Y$ $t = 0$ $\mathcal Y$ $X < Y$ $t=0$ $\mathcal X$ $\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3$

— Dilip Sarwate
fonte

Existe uma relação entre variáveis aleatórias gama e beta que leva a uma expressão geral para para quaisquer duas variáveis aleatórias gama independentes. $P[X>Y]$

E se $X \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,\beta_1)$ e $Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_2),$ Onde $\alpha$ é o parâmetro shape $\beta$ é o parâmetro de escala e a média é $\alpha \beta,$ então

P [X > Y] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}),

$P[X>Y] = H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$

Onde $H$ é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória beta. No seu caso eu calculo $P[X>Y]=0.984375$

Se você usou uma parametrização diferente da distribuição gama, isso precisará ser ajustado.

Aqui está o desenvolvimento. Nós podemos construir $\beta_1Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_1\beta_2)$ e $\beta_2X \sim \rm{Gamma} (\alpha_1,\beta_1 \beta_2).$ Agora considere

W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X}

$W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}$

Sabe-se (consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution , Seção de Distribuições e Propriedades Relacionadas) que $W$ tem uma distribuição beta com o primeiro parâmetro de forma de $\alpha_2$ e segundo parâmetro de forma de $\alpha_1.$

Então

P [W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X} < \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}),

$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$

Onde $H$ é a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória beta.

Tomando recíprocos e simplificando,

P [W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X} < \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}] = P [\frac{β_{1} Y + β_{2} X}{β_{1} Y} > \frac{β_{1} + β_{2}}{β_{1}}]

$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=P \left[ \frac{\beta_1Y+\beta_2X}{\beta_1Y} > \frac{\beta_1+\beta_2}{\beta_1} \right]$

= P [1 + \frac{β_{2} X}{β_{1} Y} > 1 + \frac{β_{2}}{β_{1}}] = P [\frac{X}{Y} > 1] = P [X > Y] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}})

$= P \left[ 1 + \frac{\beta_2X}{\beta_1Y}>1+\frac{\beta_2}{\beta_1} \right]=P \left[ \frac{X}{Y} >1 \right] =P \left[ X>Y \right] =H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right)$

— Soakley
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Você poderia demonstrar esse resultado ou citar uma referência acessível? Estou tendo dificuldades para entender por que deveria ser verdade. Por exemplo, deixe

α_{1} = α_{2} = β_{2} = 1

$\alpha_1=\alpha_2=\beta_2=1$ e considere o que acontece como

β_{1}

$\beta_1$ cresce grande. O lado direito se aproxima

F_{1, 1} (1) = 0.391826 \dots

$F_{1,1}(1) = 0.391826\ldots$ por baixo, enquanto o lado esquerdo deve se aproximar

1

$1$ .

— whuber

Onde você arranja

F_{1, 1} (1) = 0.391826

$F_{1,1}(1)=0.391826$ ? Como declarado,

F

$F$ é o cdf de uma variável aleatória beta. assim

F_{1, 1} (1) = 1.

$F_{1,1}(1)=1.$ Eu vejo como a notação pode ser enganosa. Vou adicionar algum desenvolvimento para mostrar o resultado, se eu puder ganhar tempo.

— soakley

Desculpe, eu esqueci a parte "beta" e presumi que você estava se referindo à distribuição da relação F (intimamente relacionada)! Obrigado por explicar.

— whuber

@whuber soakley Eu acredito que isso é algo como:

P [X > Y] = P [Y^{*} < \frac{β_{2}}{β_{1}} X^{*}]

$P[X>Y] = P[Y^* < \frac{\beta_2}{\beta_1} X^*]$ Onde

X^{*} \sim G a m m a (α_{1}, 1)

$X^* \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,1)$ e

Y^{*} \sim G a m m a (α_{2}, 1)

$Y^* \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,1)$ são versões em escala unitária de

X

$X$ e

Y

$Y$ . Usando

\frac{Y^{*}}{Y^{*} + X^{*}} \sim B e t a (α_{2}, α_{1})

$\frac{Y^*}{Y^*+X^*} \sim \rm{Beta}(\alpha_2,\alpha_1)$ ( Wikipedia ) e observando que

P [\frac{Y^{*}}{Y^{*} + X^{*}} < c] = P [Y^{*} < \frac{c}{1 - c} X^{*}]

$P[\frac{Y^*}{Y^*+X^*} < c] = P[Y^* < \frac{c}{1-c}X^*]$ , montamos

\frac{c}{1 - c} = \frac{β_{2}}{β_{1}}

$\frac{c}{1-c} = \frac{\beta_2}{\beta_1}$ dando

c = \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}

$c = \frac{\beta_1}{\beta_1 + \beta_2}$ .

— A. Webb

Sim, adicionei o desenvolvimento e alterei o beta cdf para ser designado como

H

$H$ a fim de evitar confusão com um

F

$F$ distribuição.

— soakley

A maneira mecânica de calcular $P[Y>X]$ é por integral duplo

\int_{0}^{\infty} f_{X} (x) d x \int_{x}^{\infty} f_{Y} (y) d y

$\int_0^\infty f_X(x) dx \int_x^\infty f_Y(y) dy$

Onde a integral interna pode ser reconhecida como a função de sobrevivência de $Y$ , um exponencial com o parâmetro $\lambda=1$ , em $x$ , igual a $e^{-x}$ . Então a integral restante

\int_{0}^{\infty} e^{- x} f_{X} (x) d x

$\int_0^\infty e^{-x} f_X(x) dx$

pode ser reconhecida como a função geradora de momento $X$ avaliado em $-1$ . O MGF de um $\rm{Gamma}$ é $(1-\theta t)^{-k}$ , que para $\theta = 3, k=3, t=-1$ é

(1 + 3)^{- 3} = 0.015625

$(1+3)^{-3} = 0.015625$

A questão era para $P[X>Y] = 1-P[Y>X]$ então queremos

1 - (1 + 3)^{- 3} = 1 - 0.015625 = 0.984375

$1-(1+3)^{-3} = 1-0.015625 = 0.984375$

o que concorda com a resposta de Soakley .

— A. Webb
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