Como posso calcular


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Suponha-se que Y1,,Yn+1 é uma amostra aleatória de uma função de distribuição contínua F . Deixe- XUniform{1,,n} ser independente do Yi 's. Como posso calcular E[i=1XI{YiYn+1}] ?


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Isso se parece com a expectativa condicional de uma variável aleatória I , dado que YiYn+1 . O que é I ? Ou você estava tentando escrever uma função de indicador? Como I{YiYn+1} ?
GoF_Logistic

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Se I for uma função indicadora, use linearidade de expectativa.
Łukasz Grad

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O que essas barras verticais significam em " IYiYn+1 "? Esta não é uma notação convencional para uma função indicadora, o que levanta dúvidas sobre o que esta pergunta está perguntando.
whuber

Talvez o OP apenas pretendesse usar a primeira barra vertical. Isso pode significar que se pretende significar condicionamento.
Michael R. Chernick

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@ Zen Eu acredito que você possa ter entendido mal: as edições de alguém (suas?) Corrigiram o problema da notação, não as criaram! Com a reversão, a notação estranha retornou.
whuber

Respostas:


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Aqui está uma resposta alternativa ao @Lucas 'usando a lei das expectativas iteradas:

E[i=1X1(YiYn+1)]=E[E[i=1X1(YiYn+1)|X]]=E[i=1XE[1(YiYn+1)|X]]=E[i=1XE[1(YiYn+1)]]=E[i=1XE[E[1(YiYn+1)|Yn+1]]]=E[i=1XE[F(Yn+1)]]=E[X]E[F(Yn+1)]=n+12E[F(Yn+1)]

O terceiro passo segue da independência de e Y n + 1 de X ; o quarto passo é novamente uma aplicação da lei das expectativas iteradas; o último passo é simplesmente uma aplicação da fórmula para a expectativa de uma variável aleatória uniforme e discreta.YiYn+1X

Ao inverter a ordem da integração, obtemos a expectativa restante:

E[F(Yn+1)]=F(y)dF(y)=ydF(x)dF(y)=xdF(y)dF(x)=(1F(x))dF(x)=1E[F(Yn+1)]

E[F(Yn+1)]=12

E[i=1X1(YiYn+1)]=n+14

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Pr{YiYn+1}=Pr{Yn+1Yi}i=1,,nF

Pr{YiYn+1}=1Pr{Yn+1<Yi}=1Pr{Yn+1Yi}.
E[I{YiYn+1}]=Pr{YiYn+1}=1/2
E[i=1XI{YiYn+1}|X=x]=E[i=1xI{YiYn+1}|X=x]=i=1xE[I{YiYn+1}|X=x]
=i=1xE[I{YiYn+1}]=x2,
XYi
E[i=1XI{YiYn+1}]=E[E[i=1XI{YiYn+1}|X]]=E[X2]=n+14.

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E[i=1XI[YiYn+1]]=E[i=1nI[iX]I[YiYn+1]]=i=1nE[I[iX]I[YiYn+1]]=i=1nE[I[iX]]E[I[YiYn+1]]=i=1ninE[I[YiYn+1]]=i=1ninE[F(Yn+1)]]=i=1nin12=n+14

XY1,...,Yn+1

F(y)=P(Yy)=E[I[Yy]].

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NN>n1

3
N=n
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