Como posso calcular

Suponha-se que $Y_1,\dots,Y_{n+1}$ é uma amostra aleatória de uma função de distribuição contínua $F$ . Deixe- $X\sim\mathrm{Uniform}\{1,\dots,n\}$ ser independente do $Y_i$ 's. Como posso calcular $\mathrm{E}\!\left[\sum _{i=1}^X I_{\{Y_i\leq Y_{n+1}\}}\right]$ ?

probability self-study

— hadi
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Isso se parece com a expectativa condicional de uma variável aleatória

I

$I$ , dado que

Y_{i} \leq Y_{n + 1}

$Y_i \leq Y_{n+1}$ . O que é

I

$I$ ? Ou você estava tentando escrever uma função de indicador? Como

I {Y_{i} \leq Y_{n + 1}}

$I \{ Y_i \leq Y_{n+1} \}$ ?

— GoF_Logistic

I

$I$ for uma função indicadora, use linearidade de expectativa.

— Łukasz Grad

O que essas barras verticais significam em "

I ∣ Y_{i} \leq Y_{n + 1} ∣

$I\mid Y_i\le Y_{n+1}\mid$ "? Esta não é uma notação convencional para uma função indicadora, o que levanta dúvidas sobre o que esta pergunta está perguntando.

— whuber

Talvez o OP apenas pretendesse usar a primeira barra vertical. Isso pode significar que se pretende significar condicionamento.

— Michael R. Chernick

@ Zen Eu acredito que você possa ter entendido mal: as edições de alguém (suas?) Corrigiram o problema da notação, não as criaram! Com a reversão, a notação estranha retornou.

— whuber

Respostas:

Aqui está uma resposta alternativa ao @Lucas 'usando a lei das expectativas iteradas:

\begin{aligned} E [\sum_{i = 1}^{X} 1_{(Y_{i} \leq Y_{n + 1})}] & = E [E [\sum_{i = 1}^{X} 1_{(Y_{i} \leq Y_{n + 1})} | X]] \\ = E [\sum_{i = 1}^{X} E [1_{(Y_{i} \leq Y_{n + 1})} | X]] \\ = E [\sum_{i = 1}^{X} E [1_{(Y_{i} \leq Y_{n + 1})}]] \\ = E [\sum_{i = 1}^{X} E [E [1_{(Y_{i} \leq Y_{n + 1})} | Y_{n + 1}]]] \\ = E [\sum_{i = 1}^{X} E [F (Y_{n + 1})]] \\ = E [X] E [F (Y_{n + 1})] \\ = \frac{n + 1}{2} E [F (Y_{n + 1})] \end{aligned}

$\begin{align} E\left[\sum_{i=1}^X1_{(Y_i \leq Y_{n+1})}\right] & = E\left[E\left[\sum_{i=1}^X1_{(Y_i \leq Y_{n+1})}|X\right]\right] \\ & = E\left[\sum_{i=1}^XE[1_{(Y_i \leq Y_{n+1})}|X]\right] \\ & = E\left[\sum_{i=1}^XE[1_{(Y_i \leq Y_{n+1})}]\right] \\ & = E\left[\sum_{i=1}^XE\left[E[1_{(Y_i \leq Y_{n+1})}|Y_{n+1}]\right]\right] \\ & = E\left[\sum_{i=1}^XE[F(Y_{n+1})]\right] \\[12pt] & = E[X]E\left[F(Y_{n+1})\right] \\[12pt] & =\frac{n+1}{2}E[F(Y_{n+1})] \end {align}$

O terceiro passo segue da independência de e de ; o quarto passo é novamente uma aplicação da lei das expectativas iteradas; o último passo é simplesmente uma aplicação da fórmula para a expectativa de uma variável aleatória uniforme e discreta. $Y_i$ $Y_{n+1}$ $X$

Ao inverter a ordem da integração, obtemos a expectativa restante:

\begin{aligned} E [F (Y_{n + 1})] & = \int_{- \infty}^{\infty} F (y) d F (y) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{y} d F (x) d F (y) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{x}^{\infty} d F (y) d F (x) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (1 - F (x)) d F (x) \\ = 1 - E [F (Y_{n + 1})] \end{aligned}

$\begin{align} E[F(Y_{n+1})] & = \int_{-\infty}^{\infty}F(y)dF(y) \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^y dF(x)dF(y) \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{x}^{\infty} dF(y)dF(x) \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} (1-F(x))dF(x) \\[10pt] & = 1-E[F(Y_{n+1})] \end{align}$

$E[F(Y_{n+1})] = \frac{1}{2}$

E [\sum_{i = 1}^{X} 1_{(Y_{i} \leq Y_{n + 1})}] = \frac{n + 1}{4}

$E\left[\sum_{i=1}^X1_{(Y_i \leq Y_{n+1})}\right] = \frac{n+1}{4}$

— Daneel Olivaw
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$\Pr\{Y_i\leq Y_{n+1}\}=\Pr\{Y_{n+1}\leq Y_i\}$ $i=1,\dots,n$ $F$

Pr {Y_{i} \leq Y_{n + 1}} = 1 - Pr {Y_{n + 1} < Y_{i}} = 1 - Pr {Y_{n + 1} \leq Y_{i}} .

$\Pr\{Y_i\leq Y_{n+1}\} = 1-\Pr\{Y_{n+1}< Y_i\}=1-\Pr\{Y_{n+1}\leq Y_i\}.$

E [I_{{Y_{i} \leq Y_{n + 1}}}] = Pr {Y_{i} \leq Y_{n + 1}} = 1 / 2

$\mathrm{E}\left[I_{\{Y_i\leq Y_{n+1}\}}\right]=\Pr\{Y_i\leq Y_{n+1}\}=1/2$

E [\sum_{i = 1}^{X} I_{{Y_{i} \leq Y_{n + 1}}} | X = x] = E [\sum_{i = 1}^{x} I_{{Y_{i} \leq Y_{n + 1}}} | X = x] = \sum_{i = 1}^{x} E [I_{{Y_{i} \leq Y_{n + 1}}} | X = x]

$\mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1}^X I_{\{Y_i\leq Y_{n+1}\}}\;\Bigg\vert\; X=x\right] = \mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1}^x I_{\{Y_i\leq Y_{n+1}\}}\;\Bigg\vert\; X=x\right] = \sum_{i=1}^x\;\mathrm{E}\!\left[I_{\{Y_i\leq Y_{n+1}\}}\;\Bigg\vert\; X=x\right]$

= \sum_{i = 1}^{x} E [I_{{Y_{i} \leq Y_{n + 1}}}] = \frac{x}{2},

$= \sum_{i=1}^x\;\mathrm{E}\!\left[I_{\{Y_i\leq Y_{n+1}\}}\right] = \frac{x}{2},$

X

$X$

Y_{i}

$Y_i$

E [\sum_{i = 1}^{X} I_{{Y_{i} \leq Y_{n + 1}}}] = E [E [\sum_{i = 1}^{X} I_{{Y_{i} \leq Y_{n + 1}}} | X]] = E [\frac{X}{2}] = \frac{n + 1}{4} .

$\mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1}^X I_{\{Y_i\leq Y_{n+1}\}}\right] = \mathrm{E}\!\left[\mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1}^X I_{\{Y_i\leq Y_{n+1}\}}\;\Bigg\vert\; X\right]\right] = \mathrm{E}\left[\frac{X}{2}\right] = \frac{n+1}{4}.$

— zen
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\begin{aligned} E [\sum_{i = 1}^{X} I [Y_{i} \leq Y_{n + 1}]] & = E [\sum_{i = 1}^{n} I [i \leq X] I [Y_{i} \leq Y_{n + 1}]] \\ = \sum_{i = 1}^{n} E [I [i \leq X] I [Y_{i} \leq Y_{n + 1}]] \\ = \sum_{i = 1}^{n} E [I [i \leq X]] \cdot E [I [Y_{i} \leq Y_{n + 1}]] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n} \cdot E [I [Y_{i} \leq Y_{n + 1}]] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n} \cdot E [F (Y_{n + 1})]] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{n + 1}{4} \end{aligned}

$\begin{align} E\left[ \sum_{i = 1}^X I[Y_i \leq Y_{n + 1}] \right] &= E\left[ \sum_{i = 1}^n I[i \leq X] I[Y_i \leq Y_{n + 1}] \right] \\ &= \sum_{i = 1}^n E\left[ I[i \leq X] I[Y_i \leq Y_{n + 1}] \right] \\ &= \sum_{i = 1}^n E\left[ I[i \leq X] \right] \cdot E\left[ I[Y_i \leq Y_{n + 1}] \right] \\ &= \sum_{i = 1}^n \frac{i}{n} \cdot E[I[Y_i \leq Y_{n + 1}]] \\ &= \sum_{i = 1}^n \frac{i}{n} \cdot E\left[ F(Y_{n + 1})] \right] \\ &= \sum_{i = 1}^n \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{n + 1}{4} \end{align}$

$X$ $Y_1, ..., Y_{n + 1}$

F (y) = P (Y \leq y) = E [I [Y \leq y]] .

$F(y) = P(Y \leq y) = E[I[Y \leq y]].$

— Lucas
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N

$N$

N > n - 1

$N>n-1$

N = n

$N=n$