O processo gaussiano (regressão) tem a propriedade de aproximação universal?

Pode qualquer função contínua em [a, b], onde aeb são números reais, ser aproximada ou arbitrariamente próxima da função (em alguma norma) pelos Processos Gaussianos (Regressão)?

gaussian-process approximation

— Michael D
fonte

Seja mais específico!

— Henry.L

sim! Bem, na verdade, depende da função de covariância, mas para alguns deles, eles o fazem . Dustin Tran et al. também provou um teorema de aproximação universal na estrutura bayesiana para o Processo Gaussiano Variacional , que é um modelo mais complexo por causa das funções de distorção, mas está intimamente relacionado. Escreverei uma resposta se a pergunta for reaberta. O PS nota que a aproximação universal, como nas redes neurais, se mantém apenas sobre um conjunto compacto, não sobre todo o .

R^{p}

$\mathbb{R}^p$

— DeltaIV 19/03/19

A afirmação de "aproximação universal" nesta pergunta parece ter pouco ou nada a ver com a afirmação no artigo referenciado da Wikipedia. De fato, nem está claro como alguém pode se aproximar de uma função com um processo . Você poderia elaborar o que está tentando perguntar?

— whuber

@whuber Embora os aspectos técnicos possam ser um pouco frouxos, acho que a pergunta significa essencialmente "Para uma função de entrada , existe a realização de um GP específico que é arbitrariamente próximo de (em alguma norma)?" Ou talvez: "Como observamos infinitamente muitos pontos de amostra de uma função e realizamos inferência padrão do GP com esses dados, a função média posterior aprendida se aproxima da verdadeira função (em algum sentido)?" É claro que essas duas são propriedades diferentes, mas eu as consideraria próximas o suficiente para serem responsáveis (e, portanto, dar o quinto voto de reabertura).

f

$f$

f

$f$

f

$f$

f

$f$

— Dougal

Talvez você queira provar convergência em vez de aproximação. Caso contrário, a prova é simples: você pode assumir a função como anterior para a média. Não é muito mais que , mas funciona.

x = x

$x=x$

— precisa

Como observa @Dougal, existem duas maneiras diferentes pelas quais sua pergunta pode ser interpretada. Eles estão intimamente relacionados, mesmo que não pareça.

A primeira interpretação é: seja um subconjunto compacto de (a compactação é fundamental para todos os itens a seguir !!!), seja um função de covariância contínua (ou kernel) definida em e denota com o espaço normalizado de funções contínuas em , equipado com a norma máxima . Para qualquer função , pode ser aproximada a uma tolerância pré-especificada por uma função no RKHS (Reproducing Kernel Hilbert Space) associado a $X$ $\mathbb{R}^d$ $k(\mathbf{x},\mathbf{x})$ $X\times X$ $C(X)$ $X$ $||\cdot||_{\infty}$ $f\in C(X)$ $f$ $\epsilon$ $k$ ? Você pode se perguntar o que é um RKHS e o que tudo isso tem a ver com a regressão de processo gaussiana. Um RKHS é o fechamento do espaço vetorial formado por todas as combinações lineares finitas possíveis de todas as funções possíveis onde . Isso está estritamente relacionado à regressão do processo gaussiano, porque, dado um processo gaussiano anterior no espaço , depois o (fechamento do) O espaço de todos os meios posteriores possíveis que podem ser gerados pela regressão de processo gaussiana é exatamente o RKHS. De fato, todos os meios posteriores possíveis têm a forma $K(X)$ $f_\mathbf{y}(\mathbf{x})=k(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{y}\in X$ $GP(0,k(\mathbf{x},\mathbf{x}))$ $C(X)$

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} k (x, x_{i})

$f(\mathbf{x}) =\sum_{i=1}^n c_i k(\mathbf{x},\mathbf{x}_i)$

isto é, são combinações lineares finitas de funções . Assim, estamos efetivamente perguntando se, dado um processo gaussiano anterior em , para qualquer função lá é sempre uma função no espaço (fechamento do) de todas as funções que podem ser geradas pelo GPR, o mais próximo possível de . $f_\mathbf{x_i}(\mathbf{x})=k(\mathbf{x},\mathbf{x_i})$ $GP(0,k(\mathbf{x},\mathbf{x}))$ $C(X)$ $f\in C(X)$ $f^*$ $f$

A resposta, para alguns kernels específicos (incluindo o kernel clássico exponencial quadrado, mas não incluindo o kernel polinomial), é sim . Pode-se provar que, para esses núcleos, é denso em , ou seja, para qualquer e para qualquer tolerância , existe um em tal que . Observe as suposições: é compacto, é contínuo e é um núcleo contínuo com a chamada propriedade de aproximação universal. Veja aqui $K(X)$ $C(X)$ $f\in C(X)$ $\epsilon$ $f^*$ $K(X)$ $||f-f^*||_{\infty}<\epsilon$ $X$ $f$ $k$ para uma prova completa em um contexto mais geral (portanto complicado).

Este resultado é muito menos poderoso do que parece à primeira vista. Mesmo se estiver no espaço (fechamento do) dos meios posteriores que podem ser gerados pelo GPR, não provamos que seja a média posterior específica retornada pelo GPR, para um conjunto de treinamento grande o suficiente, onde é claro que o conjunto de treinamento consiste em observações barulhentas de nos pontos . Nem sequer provamos que a média posterior retornada pelo GPR converge de maneira alguma para ! Esta é realmente a segunda interpretação sugerida por @Dougal. A resposta a esta pergunta depende da resposta à primeira: se não houver nenhuma função $f^*$ $f$ $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n$ $n \to \infty$ $f^*$ no RKHS, que é uma "boa aproximação" de , é claro que não podemos esperar que a média posterior retornada pelo GPR converja para ele. No entanto, é uma pergunta diferente. Se você também gostaria de ter uma resposta para essa pergunta, faça uma nova pergunta. $f$

— DeltaIV
fonte