O uso do desvio padrão baseia-se na suposição de distribuição normal?

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Gostaria de saber se o desvio padrão sempre foi construído com base na suposição de uma distribuição normal. Em outras palavras, se a amostra não for normalmente distribuída, o desvio padrão deve ser considerado um erro?

normal-distribution standard-deviation

— Dougal
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Uma distribuição uniforme tem um desvio padrão, como isso pode ser um "erro"?

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Não. O uso do desvio padrão não assume normalidade.

A variação de uma variável aleatória é definida como . Enquanto a variação existir, o desvio padrão também existe. O desvio padrão é a raiz quadrada da variação. $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

Você pode usar a variação ou o desvio padrão a qualquer momento que os dois existirem. A variação surge em inúmeras situações. $\operatorname{Var}(X)$

Existem teoremas especiais, lemas, etc ... embora para o caso especial em que segue a distribuição normal. $X$

Um uso comum do desvio padrão que depende da normalidade:

Se segue a distribuição normal, há aproximadamente uma probabilidade de 95% de cair dentro de dois desvios padrão da média. $X$ $X$

Essa afirmação é verdadeira se segue a distribuição normal (e várias outras), mas não é verdade em geral. $X$

Um uso comum da variação que não depende da normalidade:

Seja uma variável aleatória com média e variância . Definir para como variáveis aleatórias independentes, cada um seguindo a distribuição idêntica como . $X$ $\operatorname{E}[X] = \mu$ $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$ $X_i$ $i=1, \ldots, n$ $X$

Defina a média da amostra com base em observações como: $n$

{\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

Pelo Teorema do Limite Central, converge para uma variável aleatória normalmente distribuída com média e variância . (Mais precisamente converge na distribuição para como .) $\bar{X}_n$ $\mu$ $\frac{\sigma^2}{n}$ $\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $n \rightarrow \infty$

A implicação prática é que a média da amostra para grande pode ser tratado como uma variável aleatória com distribuição normal cuja variância é uma função da variação de . (Lembre-se de ) E esse resultado não requer que seja normal. (Requer um mais baixo para funcionar bem se estiver mais próximo, em certo sentido, da distribuição normal.) $\bar{X}_n$ $n$ $\frac{\sigma^2}{n}$ $X$ $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$ $X$ $n$ $X$

O Teorema do Limite Central é uma ferramenta onipresente que usa a variação de e não precisa de para seguir a distribuição normal. $X$ $X$

— Matthew Gunn
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A desigualdade de Chebyshev não é específica da variação: existe uma versão igualmente útil para todo momento absoluto com poder maior que

. Eu sugeriria, portanto, procurar em outro lugar as razões pelas quais o DS é importante e (quase) universal, como o papel único desempenhado pela variação no Teorema do Limite Central.

1

$1$

— whuber

@ whuber Sim, eu comecei a escrever um exemplo CLT (e agora eu o adicionei). O CLT é uma razão extremamente prática para se preocupar com a variação.

— Matthew Gunn

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+1. Mas nota que, enquanto variância (juntamente com a média) dá uma descrição completa no caso normal, para distribuição não-normal esta pode não ser mais o caso, e outros d3scriptors dos dados pode ser muito melhor

— b Kjetil Halvorsen

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$S^2$ $\hat{\sigma}^2_{ML}$ $\mathrm{Var}[X_i]$

— zen
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