Por que usamos a raiz quadrada da variação para criar um desvio padrão?

Desculpe, se isso foi respondido em outro lugar, não consegui encontrá-lo.

Gostaria de saber por que usamos a raiz quadrada , em particular, da variação para criar o desvio padrão? O que é pegar a raiz quadrada que produz um valor útil?

Em certo sentido, essa é uma pergunta trivial, mas, em outro, é realmente bastante profunda!

• Como já foi mencionado, tomando a raiz quadrada implica $\operatorname{Stdev}(X)$ tem as mesmas unidades que $X$ .

• Tomar a raiz quadrada fornece uma homogeneidade absoluta, também conhecida como escalabilidade absoluta . Para qualquer $\alpha$ escalar e variável aleatória $X$ , temos:

  $$\operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ A homogeneidade absoluta é uma propriedade necessária de uma norma . O desvio padrão pode ser interpretado como uma norma (no espaço vetorial de variáveis ​​aleatórias médias zero) de maneira semelhante a $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$ é a norma euclidiana padrão em um espaço tridimensional. O desvio padrão é uma medida da distância entre uma variável aleatória e sua média.

Desvio padrão e a norma $L_2$

Caso de dimensão finita:

Numa $n$ espaço vectorial dimensional, a norma euclidiana padrão conhecido como o $L_2$ norma está definido como:

Mais amplamente, o -norm leva o th raiz para obter absoluta homogeneidade: .$p$ $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$$p$$\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p$

Se você tiver pesos , a soma ponderada também é uma norma válida. Além disso, é o desvio padrão se representar probabilidades e$q_i$$\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$$q_i$$\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

Caso de dimensão infinita:

Em um espaço Hilbert de dimensão infinita, da mesma forma, podemos definir a norma :$L_2$

Se é uma variável aleatória média zero e é a medida de probabilidade, qual é o desvio padrão? É o mesmo: .$X$$P$$\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$

Resumo:

Tomando a raiz quadrada faz significa que o desvio padrão satisfaz a homogeneidade absoluta , uma propriedade necessária de uma norma .

Em um espaço de variáveis ​​aleatórias, é um produto interno e o norma induzida por esse produto interno . Portanto, o desvio padrão é a norma de uma variável aleatória : É uma medida da distância da média a .$\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$‖ X ‖ 2 = √$\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$ Stdev[X]="X-E[X]"2E[X]X

(Ponto técnico: enquanto é uma norma, o desvio padrão não é uma norma sobre variáveis ​​aleatórias em geral, porque um requisito para um espaço vetorial normalizado é se e somente se . Um desvio padrão de 0 não ' t implica que a variável aleatória é o elemento zero.)$\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$$\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$ "x"=0x=0$\|x\| = \mathbf{0}$$x = \mathbf{0}$

A variação de é definida como , portanto, é uma expectativa de uma diferença ao quadrado entre X e seu valor esperado.V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) $X$$V(X) = E(X-E(X))^2$

Se é o tempo em segundos, está em segundos, mas está em e está novamente em segundos.X - E ( X ) V ( X ) segundos 2 $X$$X-E(X)$$V(X)$$\mbox{seconds}^2$$\sqrt{V(X)}$

A resposta simples é que as unidades estão na mesma escala que a média. Exemplo: Estimo a média para o aluno do ensino médio em 160 cm com um desvio padrão (DP) de 20 cm. É intuitivamente mais fácil perceber a variação com o SD do que a variação de 400 cm ^ 2.

Em termos mais simples, o desvio padrão é projetado para nos fornecer um número positivo que diz algo sobre a disseminação de nossos dados sobre sua média.

Se somarmos as distâncias de todos os pontos da média, os pontos nas direções positiva e negativa se combinariam de uma maneira que tenderia a gravitar de volta para a média e perderíamos informações sobre a propagação. É por isso que medimos a variação primeiro, para que todas as distâncias sejam preservadas como quantidades positivas via quadratura e elas não se cancelem. No final, queremos um valor positivo que represente as unidades com as quais começamos - isso já foi comentado acima -, então tomamos a raiz quadrada positiva.

É uma estupidez histórica que continuamos devido à preguiça intelectual. Eles escolheram quadrado as diferenças da média para se livrar do sinal de menos. Então eles pegaram a raiz quadrada para trazê-la para uma escala semelhante à média.

Alguém deve gerar novas estatísticas, variação de computação e DP usando módulo ou valores absolutos de desvio da média. Isso eliminaria toda essa quadratura e, em seguida, acabaria com o negócio da raiz quadrada.