Por que a soma das autocorrelações da amostra de uma série estacionária é igual a -1/2?

Não consigo entender essa propriedade de séries estacionárias e a função de autocorrelação. Eu tenho que provar isso

\begin{aligned} \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = - \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{h=1}^{n-1}\hat\rho(h)=-\frac{1}{2} \end{align}$

Onde e é a função de autocovariância $\hat\rho(h)=\displaystyle\frac{\hat\gamma(h)}{\hat\gamma(0)}$ $\hat\gamma(h)$

\begin{aligned} \hat{γ} (h) = \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat\gamma(h) = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X}) \end{align}$

Espero que alguém possa me ajudar com uma prova, ou pelo menos me indicar a direção certa.

time-series autocorrelation stationarity

— Ernesto
fonte

Dica: subtraindo-se uma constante de todo o

, o que vai alterar nenhum dos

, poderá assumir

. Esquadre isso e procure por peças que correspondam às suas duas somas.

X_{t}

$X_t$

\hat{γ} (h)

$\hat\gamma(h)$

0 = \sum_{t = 1}^{n} X_{t}

$0=\sum_{t=1}^nX_t$

— whuber

Obrigado pela resposta. Eu entendo que subtrair uma constante não afeta qualquer um dos

, mas eu não vejo por que isso me permite supor que a soma da série é igual a 0.

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

— Ernesto

Subtrair exatamente a constante que faz

igual a 0. Agora, o seu

é simplificada (porque o novo s' tem média 0) e os termos são muito mais fáceis de jogar com (mas sem perda de generalidade).

\sum X_{t}

$\sum X_t$

\hat{γ}

$\hat\gamma$

X_{t}

$X_t$

— Glen_b -Reinstala Monica

Afigura-se que deveria ser

em vez de

1 / (n - h)

$1/(n-h)$

1 / n

$1/n$

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Acredito que ambas as versões são estimadores válidos da função de autocovariância com as mesmas propriedades assintóticas, mas li em algum lugar que

é o preferido. (A razão é que a matriz

é positiva semi-definida, eu não sou um matemático, então eu realmente não posso explicar isso!)

1 / n

$1/n$

\hat{γ} (i - j)

$\hat{\gamma}(i-j)$

— Ernesto

Vamos começar representando a soma usando a definição da função de autocorrelação: $S$

S = \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = \sum_{h = 1}^{n - 1} (\frac{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}})

$\begin{equation} S = \sum_{h=1}^{n-1} \hat{\rho}(h) = \sum_{h=1}^{n-1} \left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(X_t-\bar{X})^2}\right) \end{equation}$

O denominador não depende de para que possamos simplificar e mover a frente para o numerador, o que nos dá: $h$ $\sum$

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}}

$\begin{equation} S = \frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h} (X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\sum_{t=1}^{n} (X_t-\bar{X})^2} \end{equation}$

$Y_t=X_t-\bar{X}$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0.$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2}$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ $\times$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$

$- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})$

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{- 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})} = - \frac{1}{2}

$\begin{equation} S=\frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}= -\frac{1}{2} \end{equation}$

Espero que isto ajude!

— Dilly Minch
fonte

\sum_{t = 1}^{n} Y_{t}^{2} = {(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})}^{2} - 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} Y_{t} Y_{t + h}

$\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$

— Ernesto

(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})^{2}

$(\sum_{t=1}^n Y_t)^2$

Y_{t}^{2}

$Y_t^2$

Y_{i} Y_{j}

$Y_iY_j$

i \neq j

$i\neq j$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}, Y_{3}

$Y_2, Y_3$

Y_{2}

$Y_2$

Y_{3}, Y_{4}

$Y_3,Y_4$

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$

Y_{n - 1} Y_{n}

$Y_{n-1}Y_n$