Se


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Encontrei uma prova de uma das propriedades do modelo ARCH que diz que, se , { X t } é estacionário se f p i = 1 b i < 1 em que o modelo ARCH é:E(Xt2)<{Xt}i=1pbi<1

Xt=σtϵt

σt2=b0+b1Xt12+...bpXtp2

A idéia principal da prova é mostrar que pode ser escrito como um processo AR (p) e se p i = 1 b i < 1 for verdadeiro, todas as raízes do polinômio característico ficam fora do círculo unitário e portanto, { X 2 t } é estacionário. Ele então diz que, portanto, { X t } é estacionário. Como isso segue?Xt2i=1pbi<1{Xt2}{Xt}


2
Em geral, não. Você pode imaginar um processo em que é estacionário, mas X t = Xt em alguns intervalos, masXt=-Xt=Xt2 em outro intervalo de tempo. Talvez exagerado, mas uma possibilidade matemática. Xt=Xt2
precisa saber é o seguinte

Respostas:


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A partir da seção apresentada, entendo como você pode ver que a estacionariedade de implica estacionariedade de X t, mas, na verdade, apenas implica uma variação constante de X t .Xt2Xt Xt

Os autores dessa prova estavam usando estacionariedade de para concluir um argumento que haviam iniciado anteriormente, observando momentos incondicionais de X tXt2Xt

Recordar os condições fim estacionaridade:2nd

  1. t ZE(Xt)< tZ
  2. Var(Xt)=m tZ
  3. Cov(Xt,Xt+h)=γx(h) hZ

Condition 1 was proved by E(Xt)=E(E(Xt|Ft1))=0

E(XtXt1)=E(σtϵtσt1ϵt1)=E(E(σtϵtσt1ϵt1)|Ft1)=E(σtσt1E(ϵt1ϵt)|Ft1))=0

But to prove the second condition they needed to prove a constant unconditional variance of Xt

Var(Xt)=Var(Xt1)=Var(Xt2)=...=m

This is what leads to an assumption of stationarity of Xt2 which you have mentioned uses its AR(p) form. In brief:

Var(Xt)=E(Var(Xt)|Ft1)+Var(E(Xt|Ft1))=E(Var(ut|Ft1))becausethelasttermis0=E(b0+b1Xt12+...bpXtp2)=b0+b1E(Xt12)+...bpE(Xtp2)=b0+b1var(Xt1)+...bpvar(Xtp)
If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and Σbi<1 This makes it possible to write:
var(Xt1)=...=var(Xtp)=b01b1...bpwhichisalasconstant!

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machazthegamer
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