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Encontrei uma prova de uma das propriedades do modelo ARCH que diz que, se , { X t } é estacionário se f ∑ p i = 1 b i < 1 em que o modelo ARCH é:$\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

A idéia principal da prova é mostrar que pode ser escrito como um processo AR (p) e se ∑ p i = 1 b i < 1 for verdadeiro, todas as raízes do polinômio característico ficam fora do círculo unitário e portanto, { X 2 t } é estacionário. Ele então diz que, portanto, { X t } é estacionário. Como isso segue?$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

A partir da seção apresentada, entendo como você pode ver que a estacionariedade de implica estacionariedade de X t, mas, na verdade, apenas implica uma variação constante de X t .$X^2_t$$X_t$ $X_t$

Os autores dessa prova estavam usando estacionariedade de para concluir um argumento que haviam iniciado anteriormente, observando momentos incondicionais de X $X^2_t$$X_t$

Recordar os condições fim estacionaridade:$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

Condition 1 was proved by $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

But to prove the second condition they needed to prove a constant unconditional variance of $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

This is what leads to an assumption of stationarity of $X^2_{t}$ which you have mentioned uses its $AR(p)$ form. In brief:

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and $\Sigma b_i<1$ This makes it possible to write: $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$