A média geométrica é um estimador imparcial da média de qual distribuição contínua?

Existe alguma distribuição contínua expressável em forma fechada, cuja média é tal que a média geométrica das amostras é um estimador imparcial para essa média?

Atualização: Acabei de perceber que minhas amostras precisam ser positivas (caso contrário, a média geométrica pode não existir), então talvez contínua não seja a palavra certa. Que tal uma distribuição que é zero para valores negativos da variável aleatória e é contínua para valores positivos. Algo como uma distribuição truncada.

distributions geometric-mean

— user53608
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Uma distribuição pode ser contínua enquanto possui um espaço de amostra estritamente positivo (por exemplo, a distribuição gama).

— gammer

Você também quer dizer um exemplo em que a média geométrica de uma amostra é um estimador imparcial do primeiro momento? Eu só vi a média geométrica de um conjunto discreto de dados definido e incerto como a média geométrica "verdadeira" (ou seja, no nível da população) seria definida para uma distribuição contínua ... Talvez

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$ ?

— gammer

Funciona para a distribuição lognormal.

— Michael R. Chernick

É válido se a variável aleatória

igual a alguma constante escalar positiva

quase certamente . Não de outra forma.

X

$X$

c

$c$

— Matthew Gunn

Respostas:

Acredito que você esteja perguntando o que é, se houver, a distribuição de um rv , de modo que, se tivermos uma amostra iid de tamanho dessa distribuição, ela manterá $X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

Devido à suposição iid , temos

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

e por isso estamos perguntando se podemos ter

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Mas pela desigualdade de Jensen, e pelo fato de a função poder ser estritamente convexa para poderes superiores à unidade, temos que, quase certamente para uma variável aleatória não degenerada (não constante),

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Portanto, não existe tal distribuição.

$GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

$\mu$ $\sigma$

$s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(que nos diz que é um estimador tendencioso da mediana). Mas

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

qual é a mediana da distribuição. Pode-se também mostrar que a variância da média geométrica da amostra converge para zero e essas duas condições são suficientes para que esse estimador seja assintoticamente consistente - para a mediana,

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— Alecos Papadopoulos
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Talvez deva ser acrescentado que a desigualdade de Jensen, aplicada com uma função estritamente convexa, é uma igualdade apenas se for tão constante.

X

$X$

— Olivier

@ Olivier: Eu acho que é uma propriedade conhecida o suficiente para que possa adicionar desordem para incluí-la. De qualquer forma , a desigualdade de Jensen nem é realmente necessária, pois considerar o caso já é suficiente, juntamente com o fato implica quase certamente por um argumento ainda mais elementar.

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

— cardeal

Esse é um argumento semelhante à excelente resposta de Alecos, pois a desigualdade média aritmética e média geométrica é uma conseqüência da desigualdade de Jensen.

Seja a média aritmética: $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
Seja a média geométrica: $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

A desigualdade média aritmética e média geométrica indica que com igualdade se e somente se toda observação for igual: . (A desigualdade da AMGM é uma conseqüência da desigualdade de Jensen .) $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Caso 1: quase certamente $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Então . $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

Em certo sentido, este é um caso totalmente degenerado.

Caso 2: para $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

Depois, há uma probabilidade positiva de que a média geométrica seja menor que a média aritmética. Como para todos os resultados e , temos o . $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— Matthew Gunn
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A média geométrica é um estimador imparcial da média de qual distribuição contínua?

Caso 1: quase certamenteX1=X2=…=XnX1=X2=…=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

Caso 2: paraP(Xi≠Xj)>0P(Xi≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0i≠ji≠ji\neq j

Caso 1: quase certamente $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

Caso 2: para $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$