Se eu provar o estimador de


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Deixei Xi ser uma variável aleatória iid com pdf f(x|θ), Onde E(Xi)=6θ2e θ>0.

Eu calculei um estimador para o parâmetro (θ) do f(x|θ) ser estar θ^=x¯/6. Para provar que este é um estimador imparcial, devo provar queE(θ^)=E(x¯/6). No entanto, desdeθ^2=x¯/6, seria muito mais fácil mostrar que

E(θ^2)=E(x¯/6)=16E(Xin)=16nE(Xi)=16nn6θ2=θ2.

Geralmente, provando x2=4 não é o mesmo que provar x=2, Desde a x também poderia ser 2. No entanto, neste casoθ>0.

Eu mostrei isso θ^2 é imparcial, isso é suficiente para mostrar que θ^ é imparcial?


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Seu título não parece fazer sentido; parece estar falando sobre estimar uma variável aleatória - o que você estima é um parâmetro; Sua última frase diz: "Eu tenho mostrado que é de R $ imparcial, mas os parâmetros não são distorcidos ou imparcial, ... estimadores de parâmetros são Por favor edição para sua pergunta é clara..θ2
Glen_b -Reinstate Monica

Consulte a central de ajuda sobre perguntas no estilo de lição de casa (tipo rotina de livros didáticos) (a discussão se aplica se é realmente uma lição de casa ou não); em seguida, adicione a self-studytag conforme sugerido lá e modifique sua pergunta para seguir as diretrizes para fazer essas perguntas. Em particular, você precisará identificar claramente o que fez para resolver o problema e indicar a ajuda específica necessária no momento em que tiver dificuldade.
Glen_b -Reinstala Monica


@ Taylor, eles certamente estão relacionados, mas a pergunta aqui não tem a mesma resposta que a pergunta lá.
Glen_b -Reinstala Monica

@Glen_b está certo, a terminologia está errada aqui. Mas, suspeito que você possa estar se perguntando se um estimador é imparcial para então a raiz quadrada desse estimador é imparcial para . Não não é. θ2θ
gammer

Respostas:


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Diga é imparcial para , ou seja, , então, devido à desigualdade de Jensen,Qθ2E(Q)=θ2

E(Q)=θ<E(Q)

Portanto, é enviesado, ou seja, superestima em média.Qθ

Nota : Esta é uma desigualdade estrita (isto é, not ) porque não é uma variável aleatória degenerada e a raiz quadrada não é uma transformação afim.<Q


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Observe que, para qualquer estimador (com segundo momento finito), com igualdade somente quando (o que é fácil de verificar não é válido).E(θ2^)E(θ^)2 = Var(θ^)0Var(θ^)=0

Substitua o primeiro termo no LHS dessa desigualdade usando seu resultado para imparcialidade de e, em seguida, usando o fato de que e são positivos, mostre é tendencioso, não imparcial como você supunha. (Em geral, você pode aplicar a desigualdade de Jensen, mas não é necessária aqui)θ2^θθ^θ^

Observe que essa prova não se relaciona aos detalhes do seu problema - para um estimador não negativo de um parâmetro não negativo, se o quadrado não for favorável ao quadrado do parâmetro, o estimador deve ser tendencioso, a menos que a variação do estimador é .0


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+1 apenas ligando para o artigo da Wikipedia sobre Desigualdade de Jensen , desde que eu achei super útil quando eu estava trabalhando através de perguntas semelhantes há alguns anos
Rose Hartman

Isso é realmente claro e legal!
Zen
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