Motivação
No contexto da inferência pós-seleção de modelo, Leeb & Pötscher (2005) escrevem:
Embora se saiba há muito tempo que a uniformidade (pelo menos localmente) dos parâmetros é uma questão importante na análise assintótica, essa lição foi muitas vezes esquecida na prática diária da teoria econométrica e estatística, onde geralmente nos contentamos em provar resultados assintóticos pontuais ( ou seja, resultados válidos para cada valor fixo de parâmetro verdadeiro). Esta amnésia - e a prática resultante - felizmente não tem consequências dramáticas, desde que apenas sejam considerados estimadores suficientemente "regulares" em modelos suficientemente "regulares". No entanto, como os estimadores pós-seleção de modelo são bastante "irregulares", os problemas de uniformidade aparecem aqui com uma vingança.
fundo
Convergência uniforme
Suponhamos que um estimador de convergências uniformemente (WRT ) em distribuição de alguns variável aleatória . Então, para uma determinada precisão , sempre podemos encontrar um tamanho de amostra modo que, para cada a distância da distribuição de e a distribuição de ( ou seja, a distribuição limitante) será, no máximo, para cada .Z ε > 0 N ε αZεn>N
Isso pode ser útil na prática:
- Ao projetar um experimento, podemos limitar a imprecisão em um nível desejado, arbitrariamente pequeno , encontrando o .N ε
- Para uma determinada amostra do tamanho , podemos encontrar para limitar a imprecisão.ε N
Convergência ponto a ponto (mas não uniforme)
Por outro lado, suponhamos que um estimador de converge em um pontual forma (WRT ) - mas não uniformemente - em distribuição de alguma variável aleatória . Devido à não uniformidade, existe uma precisão tal que, para qualquer tamanho de amostra , sempre podemos encontrar um valor tal que a distância da distribuição de e a distribuição de (isto é, a distribuição limitante) será pelo menos para alguns .αZεN>0NαN ψZεn>N
Alguns pensamentos:
- Isso não nos diz quão grande será o .
- Ao projetar um experimento, não podemos mais limitar nossa imprecisão a um arbitrário encontrando um . Mas talvez pudéssemos ligar em algum nível baixo, então não precisaríamos nos preocupar com isso. Mas nem sempre podemos ser capazes de amarrá-lo onde queremos.N ε ε N
- Nós pode ou não pode encontrar para limitar a imprecisão para uma dada amostra de tamanho . N
Questões
- A falta de convergência uniforme torna o estimador praticamente inútil?
(Acho que a resposta é "não", pois muitos trabalhos se concentram na convergência pontual ...) - Se não, então, quais são alguns exemplos básicos em que o estimador não uniformemente convergente é útil?
Referências:
- Leeb, H. & Pötscher, BM (2005). Seleção e inferência de modelos: fatos e ficção. Teoria Econométrica, 21 (01), 21-59.