Qual é a distribuição de probabilidade dessa soma aleatória de variáveis ​​não-iid Bernoulli?

Estou tentando encontrar a distribuição de probabilidade de uma soma de um número aleatório de variáveis ​​que não são identicamente distribuídas. Aqui está um exemplo:

John trabalha em um call center de atendimento ao cliente. Ele recebe ligações com problemas e tenta resolvê-las. Os que ele não consegue resolver, ele os encaminha ao seu superior. Vamos supor que o número de chamadas que ele recebe em um dia segue uma distribuição de Poisson com a média . A dificuldade de cada problema varia de coisas bastante simples (com as quais ele pode lidar definitivamente) a perguntas muito especializadas que ele não saberá resolver. Suponha que a probabilidade ele vai ser capaz de resolver o i problema -ésimo segue uma distribuição Beta com os parâmetros e e é independente dos problemas anteriores. Qual é a distribuição do número de chamadas que ele resolve em um dia?p $\mu$$p_i$$\alpha$$\beta$

Mais formalmente, tenho:

$Y = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i$ para$i = 0, 1, 2, ..., N$

onde , e( X i | p i ) ~ B e r n o u l l i ( P i ) p i ~ B e t um ( α , β $N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$$(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)$$p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

Note-se que, por agora, eu estou feliz em assumir que o s' são independentes. Eu também aceitaria que os parâmetros \ mu, \ alpha e \ beta não se afetam, embora em um exemplo real disso quando \ mu seja grande, os parâmetros \ alpha e \ beta sejam tais que a distribuição Beta tem mais massa com baixas taxas de sucesso p . Mas vamos ignorar isso por enquanto. μ , α β μ α β $X_i$$\mu, \alpha$$\beta$$\mu$$\alpha$$\beta$$p$

Eu posso calcular mas é isso. Também posso simular valores para ter uma ideia de como é a distribuição de (parece Poisson, mas não sei se isso se deve ao número de e que tentei ou se generaliza, e como isso pode mudar para diferentes valores de parâmetro). Alguma idéia do que é essa distribuição ou como eu poderia derivá-la?Y μ , α $P(Y = 0)$$Y$$\mu, \alpha$$\beta$

Observe que também postei essa pergunta no Fórum TalkStats, mas achei que poderia receber mais atenção aqui. Desculpas pela postagem cruzada e muito obrigado antecipadamente pelo seu tempo.

EDIT : Como se vê (veja as respostas muito úteis abaixo - e obrigado por elas!), É realmente uma distribuição , algo o que eu estava adivinhando com base na minha intuição e em algumas simulações, mas não consegui provar. O que agora acho surpreendente, porém, é que a distribuição de Poisson depende apenas da média da distribuição mas não é afetada por sua variação.Bet$\mathrm{Poisson}(\frac{\mu\alpha}{\alpha + \beta})$$\mathrm{Beta}$

Como exemplo, as duas distribuições Beta a seguir têm a mesma média, mas variação diferente. Para maior clareza, o pdf azul representa um e o vermelho .B e t a ( 0,75 , 0,75 $\mathrm{Beta}(2, 2)$$\mathrm{Beta}(0.75, 0.75)$

No entanto, ambos resultariam na mesma distribuição que, para mim, parece um pouco contra-intuitiva. (Não estou dizendo que o resultado está errado, é apenas surpreendente!)$\mathrm{Poisson}(0.5\mu)$

As chamadas (ou seja, o ) chegam de acordo com um processo de Poisson. O número total de chamadas segue uma distribuição Poisson. Divida as chamadas em dois tipos, por exemplo, se ou . O objectivo é o de determinar o processo que gera os s. Isso é trivial se com uma probabilidade fixa : pelo princípio de superposição dos processos de Poisson, o processo completo reduzido a apenas 1 s também seria um processo de Poisson, com taxa p μ . Na verdade, é esse o caso, apenas precisamos de uma etapa adicional para chegar lá. N X i = 1 X i = 0 1 X i = 1 $X_i$$N$$X_i = 1$$X_i = 0$$1$$X_i = 1$$p$$1$$p\mu$

Marginalize sobre , para que P R ( X i | α , β ) = ∫ 1 0 p X i i ( 1 - p i ) 1 - X i p α - 1 i ( 1 - p i ) β - $p_i$

$$\mathrm{Pr}(X_i|\alpha, \beta) = \int_0^1 p_i^{X_i} (1-p_i)^{1-X_i} \frac{p_i^{\alpha-1} (1-p_i)^{\beta-1}}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)} dp_i = \frac{\mathcal{B}(X_i + \alpha, 1 - X_i + \beta)}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)}$$

Onde é a função beta. Usando o fato de que , o acima simplifica para; Γ(x+1)=xΓ(x$\mathcal{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$$\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$

$$\mathrm{Pr}(X_i = 1|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ Em outras palavras, . Pela propriedade de superposição, é Poisson distribuído com taxa .Yα$X_i \sim \mathrm{Bernoulli}(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})$$Y$$\frac{\alpha \mu}{\alpha+\beta}$

Um exemplo numérico (com R) ... na figura, as linhas verticais são da simulação e os pontos vermelhos são o pmf derivado acima:

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
  dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

1. Como é uma variável aleatória com um você tem e essa é de fato a probabilidade que João realmente resolve o th problema, independentemente de todos os outros. Beta ( α , β ) E [ p i ] = $p_i$$\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$$\mathbb{E}[p_i]= \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$$i$

2. Como o número total de problemas em um dia tem uma distribuição Poisson com o parâmetro e cada um será resolvido com probabilidade , o número que John resolve todos os dias tem uma distribuição Poisson com o parâmetro$\mu$ μ$\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$$\dfrac{\mu\alpha}{\alpha+\beta}$

3. Seu cálculo da probabilidade de ele não resolver nenhum problema deve ser$\mathbb{P}(Y=0) = e^{-{\mu\alpha}/({\alpha+\beta})}$