A soma das variáveis aleatórias exponenciais segue Gamma, confusa pelos parâmetros

Aprendi que a soma de variáveis aleatórias exponenciais segue a distribuição gama.

Mas em todo lugar que leio a parametrização é diferente. Por exemplo, o Wiki descreve o relacionamento, mas não diga o que seus parâmetros realmente significam? Forma, escala, taxa, 1 / taxa?

Distribuição exponencial: ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Distribuição gama: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

Nesta configuração, o que é $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$ ? Qual seria a parametrização correta? Que tal estender isso para o qui-quadrado?

distributions probability gamma-distribution

— Edwin
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Como regra geral, os probabilistas tendem a usar para denotar uma distribuição Gamma com média (ou seja, enquanto os estatísticos tendem a usar para denotar uma variável aleatória Gamma com média , não do jeito que você tem. Wikipedia descreve ambas as convenções.

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate

desculpe, você está correto.

— Edwin

Duas dicas: 1. lembre-se de verificar pela consistência da dimensionalidade. (por exemplo, o parâmetro tem a mesma dimensionalidade de ou seu recíproco ...?) 2. Como aqui o parâmetro da gama é um número inteiro, pode ser um pouco mais fácil usar fatoriais simples e a distribuição Erlang (de claro, é a mesma coisa) #

x

$x$

— leonbloy

@edwin Então, edite sua pergunta para corrigir as expressões de média e variância.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate editado!

— Edwin

Respostas:

A soma de variáveis aleatórias Gamma independentes é uma variável aleatória Gamma . Não importa o que o segundo parâmetro significa (escala ou inversa de escala), desde que todas as variáveis aleatórias tenham o mesmo segundo parâmetro. Essa idéia se estende prontamente a variáveis aleatórias, que são um caso especial de variáveis aleatórias Gamma. $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
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e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

lol, isso está apenas arruinando almas inocentes que querem estudar o assunto. Pessoalmente, acho que isso é mal escrito por parte do autor. Ao mesmo tempo, concordo que preciso adaptar a capacidade de detectar coisas erradas. Mas ainda assim, não quando estou dando passos de bebê.

— Edwin

Bem, como autor da resposta à outra pergunta, estou desapontado por você achar que essa resposta está mal escrita. Sugestões para melhorá-lo são bem-vindas.

— Dilip Sarwate

Não estou me referindo ao seu link.

— edwin

$n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Neil G
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$f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
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Eu formatei a parte de matemática da sua resposta. Verifique se ainda é isso que você deseja expressar.

— Andy

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$

A soma das variáveis ​​aleatórias exponenciais segue Gamma, confusa pelos parâmetros

A soma das variáveis aleatórias exponenciais segue Gamma, confusa pelos parâmetros