Julgamentos correlatos de Bernoulli, distribuição multivariada de Bernoulli?

Estou simplificando uma pergunta de pesquisa que tenho no trabalho. Imagine que eu tenho 5 moedas e vamos chamar de chefes um sucesso. São moedas MUITO tendenciosas com probabilidade de sucesso p = 0,1. Agora, se as moedas eram independentes, em seguida, obter a probabilidade de pelo menos 1 cabeças ou mais é muito simples, $1-(1-1/10)^5$ . No meu cenário, meus testes de Bernoulli (sorteio) não são independentes. As únicas informações às quais tenho acesso são a probabilidade de sucesso (cada uma é p = 0,1) e as correlações teóricas de Pearson entre as variáveis ​​binárias.

Existe alguma maneira de calcular a probabilidade de um sucesso ou mais somente com essas informações? Estou tentando evitar uma abordagem baseada em simulação, porque esses resultados teóricos serão usados ​​para orientar a precisão de um estudo de simulação. Eu estive examinando a distribuição multivariada de Bernoulli, mas não acho que possa especificá-la completamente apenas com correlações e probabilidades marginais de sucesso. Um amigo meu recomendou construir uma cópula gaussiana com marginais de bernoulli (usando o pacote R copula) e depois usar a pMvdc()função em uma amostra grande para obter a probabilidade que eu quero, mas não sei exatamente como fazê-lo.

Não, isso é impossível sempre que você tiver três ou mais moedas.

O caso de duas moedas

Vamos primeiro ver por que ele funciona para duas moedas, pois isso fornece alguma intuição sobre o que se quebra no caso de mais moedas.

Seja e Y denotem as variáveis ​​distribuídas de Bernoulli correspondentes aos dois casos, X ∼ B e r ( p ) , Y ∼ B e r ( q ) . Primeiro, lembre-se de que a correlação de X e Y é$X$$Y$$X \sim \mathrm{Ber}(p)$$Y \sim \mathrm{Ber}(q)$$X$$Y$

$$\mathrm{corr}(X, Y) = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}},$$

e como você conhece os marginais, você conhece , E [ Y ] , V a r ( X ) e V a r ( Y ) ; portanto, conhecendo a correlação, você também conhece E [ X Y ] . Agora, X Y = 1 se e somente se ambos X = 1 e Y = 1 , então E [ X Y ] = P $E[X]$$E[Y]$$\mathrm{Var}(X)$$\mathrm{Var}(Y)$$E[XY]$$XY = 1$$X = 1$$Y = 1$

$$E[XY] = P(X = 1, Y = 1).$$

Ao conhecer os marginais, sabe , e q = P ( X = 0 , Y = 1 ) + P ( X = 1 , Y = 1 ) . Como acabamos de descobrir que você conhece P ( X = 1 , $p = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)$$q = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1)$ , isso significa que você também conhece P ( X = 1 , Y = 0 ) e P ( X = 0 , Y = 0 ) , mas agora está pronto, pois a probabilidade que você está procurando é$P(X = 1, Y = 1)$$P(X = 1, Y = 0)$$P(X = 0, Y = 0)$

$$P(X = 1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1).$$

Agora, pessoalmente, acho tudo isso mais fácil de ver com uma foto. Seja . Então, podemos imaginar as várias probabilidades como formando um quadrado:$P_{ij} = P(X = i, Y = j)$

Aqui, vimos que conhecer as correlações significava que você podia deduzir marcado em vermelho e que, conhecendo os marginais, sabia a soma de cada aresta (uma das quais é indicada com um retângulo azul).$P_{11}$

O caso de três moedas

Isso não será tão fácil para três moedas; intuitivamente, não é difícil perceber o porquê: conhecendo os marginais e a correlação, você conhece um total de parâmetros, mas a distribuição conjunta tem 2 3 = 8 resultados, mas sabendo as probabilidades para 7 deles, você pode descobrir o último; agora, 7 > 6 , parece razoável que se possa preparar duas distribuições conjuntas diferentes cujos marginais e correlações são iguais e que se possa permutar as probabilidades até que as que você procura sejam diferentes.$6 = 3 + 3$$2^3 = 8$$7$$7 > 6$

Sejam , Y e Z as três variáveis ​​e sejam$X$$Y$$Z$

$$P_{ijk} = P(X = i, Y = j, Z = k).$$

Nesse caso, a imagem acima se torna a seguinte:

As dimensões foram aumentadas por uma: o vértice vermelho se tornou várias arestas coloridas e a aresta coberta por um retângulo azul se tornou uma face inteira. Aqui, o plano azul indica que, conhecendo o marginal, você sabe a soma das probabilidades dentro; para aquele na foto,

$$P(X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},$$

$\mathrm{corr}(X, Y)$$E[XY]$

$$E[XY] = P(X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111}.$$

Portanto, isso coloca algumas limitações em possíveis distribuições conjuntas, mas agora reduzimos o exercício ao exercício combinatório de colocar números nos vértices de um cubo. Sem mais delongas, vamos fornecer duas distribuições conjuntas cujos marginais e correlações são os mesmos:

$100$$1/2$$\mathrm{Ber}(1/2)$

$1 - P_{000}$$1 - P_{000}'$

$P_{111}$

$\mathrm{Ber}(1/10)$

Quatro ou mais moedas

Finalmente, quando temos mais de três moedas, não deve surpreender que possamos elaborar exemplos que falham, pois agora temos uma discrepância ainda maior entre o número de parâmetros necessários para descrever a distribuição conjunta e os fornecidos a nós pelos marginais e correlações.

Concretamente, para qualquer número de moedas maior que três, você pode simplesmente considerar os exemplos cujas três primeiras moedas se comportam como nos dois exemplos acima e para as quais os resultados das duas moedas finais são independentes de todas as outras moedas.

Os ensaios correlatos de Bernoulli levam a uma distribuição beta-binomial para os resultados contados. Deve ser possível parametrizar essa distribuição para fornecer um valor de correlação especificado e, em seguida, calcular a probabilidade desejada.