Eu não entendo a variação do binômio

Eu me sinto muito idiota mesmo fazendo uma pergunta tão básica, mas aqui vai:

Se eu tiver uma variável aleatória $X$ que podem assumir valores $0$ e $1$ , com $P(X=1) = p$ e $P(X=0) = 1-p$ , então se eu desenhar $n$ amostras fora dele, eu vou chegar uma distribuição binomial.

A média da distribuição é

$\mu = np = E(X)$

A variação da distribuição é

$\sigma^2 = np(1-p)$

Aqui é onde meu problema começa:

A variação é definida por . Como o quadrado dos dois possíveis resultados não muda nada ( e ), isso significa $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ , então isso significa $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Onde é que o extra de ir? Como você provavelmente pode dizer que eu não sou muito bom em estatísticas, não use terminologia complicada: s $n$

variance binomial

— dain
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e estes são independentes, então

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$ . Mas uma rota ainda mais fácil é

então

, com independência

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

Respostas:

Uma variável aleatória tendo valores de e , com probabilidades e é chamada uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro . Essa variável aleatória possui $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$ Suponha que você tenha uma amostra aleatóriado tamanhode, e definir uma nova variável aleatória

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$ , then the distribution of

Y

$Y$ is called Binomial, whose parameters are

n

$n$ and

p

$p$ . The mean and variance of the Binomial random variable Y is given by

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— L.V.Rao
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How does this answer the question, which was "Where does the extra n go?"?

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba Thank you very much for your comment. As OP could not distinguish between Bernoulli and Binomial random variables, I thought of reminding him the necessary definitions and the process of obtaining the required expressions.

— L.V.Rao

I am just saying that your answer would (in my opinion) improve if you explicitly point out the mistake in OP's reasoning. Your answer derives the correct formulas, but does not show where OP went wrong.

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba True. Giving some direction, making them correct themselves also helps sometimes.

— L.V.Rao

Two mistakes in your proving process:

1: $X$ in first paragraph has different definition comparing with $X$ in the rest of article.

2: Under the condition that $X$ ~ $Bin(p, n)$ , $E(X^2) \ne E(X)$ . Try to work from $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
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If you like making your eyes bleed, I transcribed a lot of my notes from grad school. This particular link shows the derivation of E(X) and E(X^2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Benjamin