Existe alguma pergunta de probabilidade aparentemente simples que seja realmente intratável?

Existem bons exemplos de um problema de probabilidade aparentemente simples, que é realmente intratável?

Estou tentando motivar o uso da simulação e gostaria de dar um exemplo de quando é necessário que seja acessível. A esperança é algo como:

"Intuitivamente, parece fácil modelar a quantidade de ases restantes após uma rodada de pôquer, mas devido à $x$ , $y$ e $z$ , isso é realmente inviável para calcular analiticamente ".

Mas estou lutando para encontrar um exemplo bom / simples.

Qualquer ajuda seria apreciada.

probability simulation probabilistic-programming

— Søren Emil Schmidt
fonte

Essa questão parece bastante ampla, vaga e subjetiva: "Simples" em que sentido? "Acessível" a quem? O que exatamente "calcular analiticamente" significa? O que constitui um exemplo "bom"? Precisamente quão difícil é "inviável"? Por exemplo, se existe uma aproximação de 100 casas decimais, mas não existe uma fórmula fechada teoricamente exata, isso seria "viável" ou não?

— whuber

Não tenho uma referência imediata, mas lembro-me de que Mark Kac pensou em Monte Carlo porque estava interessado em encontrar a probabilidade de ganhar um jogo de paciência, devido a um conjunto específico de cartas. A solução era, pelo menos para ele, combinatória e intratável. Não quero dizer essa última frase em nenhum sentido depreciativo. Só não sei se, nos 50 anos seguintes, alguém resolveu esse problema analiticamente.

— meh

Obrigado por esclarecer. Ainda acho seu critério "um estudante com algum conhecimento de probabilidade intuitivamente pensaria ser" de forma fechada solucionável ", quando na realidade é intratável" ser (altamente) subjetivo. Isso faz da sua pergunta uma questão sobre os processos de conhecimento, treinamento e pensamento de estudantes hipotéticos, e não sobre a probabilidade. Certamente você pode encontrar maneiras facilmente acessíveis de motivar a simulação. Por exemplo, se o seu público sabe como jogar o jogo do monopólio, pergunte a eles sobre a chance de ganhar se seguirem uma estratégia e seus oponentes a outra.

— whuber

Certamente, a resposta canônica "óbvia" é calcular

P (Z \leq z)

$\mathbb{P}(Z \leq z)$ Onde

Z

$Z$ é normal normal. Mas, como o @whuber faz alusão, embora atenda aos critérios estabelecidos para um "t", incluindo o fato de que é comprovadamente "intratável" (em um sentido preciso que esse espaço de comentários é muito pequeno para conter), isso não significa que simulação (comparada à aproximação numérica) é a resposta. :-) Uma resposta um pouco mais séria é o cálculo das funções de partição, que gerou muito interesse em pesquisas em métodos de simulação ao longo dos anos.

— cardeal

O paradoxo de Bertrand parece ser um bom candidato; é comumente citado como um exemplo de por que as álgebras sigma são essenciais para definir probabilidades. Dependendo de como os alunos realizam a simulação, eles obterão resultados diferentes. Não há resposta única, a menos que o significado de "escolhido aleatoriamente" seja especificado.

— Sycorax diz Restabelecer Monica

Respostas:

A função de sobrevivência $S_{t}$ Há uma quantidade de interesse em muitos (a maioria?) tipos de análise do histórico de eventos. É comumente estimado, e 'curvas de sobrevivência' representando $S_{t}$ versus tempo são frequentemente usados para comparar a probabilidade cumulativa de eventos entre diferentes grupos. As comparações estatísticas são frequentemente facilitadas pela inferência - coisas como teste de hipóteses e intervalos de confiança.

Eu e alguns estatísticos lutamos com várias abordagens diferentes para fornecer um estimador analítico assintótico da variação da amostra da função de sobrevivência ( $\sigma^{2}_{\hat{S}_{t}}$ ) Em modelos de história do evento tempo discreto ( a la logit perigo, perigo probit, etc. modelos), o que seria útil para testes de hipóteses construir e intervalos de confiança.

Acontece que - da melhor maneira que eu entendi - que, embora seja possível e comum estimar a variação assintótica de somas de variáveis aleatórias (como a média da amostra), a variação assintótica de produtos de variáveis aleatórias é um truque pegajoso para estimar .

{\hat{S}}_{t} = \prod_{i = 1}^{t} 1 - {\hat{h}}_{i}

$\hat{S}_{t} = \prod^{t}_{i=1}{1-\hat{h}_{i}}$

Onde $\hat{h}_{t}$ é a função discreta de risco de tempo no momento $t$ .

Desistimos mais ou menos de um estimador assintótico da variação desse filhote e declaramos que técnicas numéricas como o bootstrapping parecem ser nossas melhores apostas.

— Alexis
fonte

Você tem 5 variáveis e está fazendo uma análise "multivariada". Você assume a normalidade multivariada e desfruta de um conjunto de dados completo. Então, as estimativas de máxima verossimilhança da matriz de média e covariância são fechadas e fáceis de calcular .

Oh, espere, você não queria assumir a normalidade das articulações. Você pretendia assumir que, marginalmente, cada uma de suas variáveis segue uma distribuição beta. Nada demais. Deve haver um análogo multivariado da distribuição beta com uma estrutura de correlação arbitrária , certo? Bem, você pode construir algo , mas chamarei de "intratável" para o meu nível de paciência. Aqui está um post no reddit de alguém tentando descobrir algo semelhante sem muita sorte.

— Ben Ogorek
fonte

Um problema simples de probabilidade intratável pode ser o seguinte para uma corrida de cavalos.

Se o treinador de cavalos tem uma taxa de vitórias de 25% e o jóquei uma taxa de vitórias de 10% e o cavalo uma taxa de vitórias de 40%, qual é a probabilidade não normalizada de sucesso do cavalo na corrida de hoje?

O treinador treinou o cavalo para ter uma taxa de sucesso de 40%, mas será que a taxa cairá nas corridas futuras para 25%? O jóquei terá uma chance melhor que 15%, e em quanto, em um cavalo que vence 40% das vezes e em um treinador que ganha 25% das vezes?

— Robert
fonte