Probabilidade de uma relação na distribuição uniforme de pontos no espaço 2D

Suponha que um conjunto de nós esteja espalhado sobre uma superfície 2D $\mathcal{S}$ modo que, para qualquer , o número de nós dentro de siga uma distribuição Poisson com o parâmetro , ondemostra a área do subconjunto e é a intensidade dos pontos (número médio de pontos por unidade de área).$\mathcal{A} \subset \mathcal{S}$$\mathcal{A}$$|\mathcal{A}| \rho$$|\mathcal{A}|$$\mathcal{A}$$\rho$

Estamos interessados ​​apenas nos pontos dentro de um determinado círculo com raio . O número de nós dentro do círculo é uma variável de Poisson com o parâmetro . Escolhemos dois nós de dentro do círculo aleatoriamente. Deixe e mostrar a distância do primeiro e do segundo nó do centro do círculo.$r$$\rho \pi r^2$$d_1$$d_2$

Como posso calcular a probabilidade do evento:

$${d_1}^2 < \frac{{d_2}^2}{A(1+B{d_2}^2)}$$ que e são constantes.$A$$B$

Editar:

1. Assuma e .$A > 0$$B > 0$

2. Estou interessado no processo em si, não nos pontos gerados pelo processo (como descrito na resposta a seguir).

3. Que tal o caso de e ser substituído por e para (acho que isso modifica o problema desde e não são mais distribuídos uniformemente).${d_1}^2$${d_2}^2$${d_1}^\alpha$${d_2}^\alpha$$\alpha > 2$${d_1}^\alpha$${d_2}^\alpha$

Há pelo menos duas interpretações: uma diz respeito aos pontos reais gerados por esse processo e a outra diz respeito ao próprio processo.

Se uma realização do processo de Poisson é dada e pares de pontos devem ser escolhidos a partir dessa realização, então não há nada a ser feito, exceto comparar sistematicamente todas as distâncias a todas as outras distâncias (um loop duplo sobre os pontos).

Caso contrário, se o procedimento pretender consistir em (i) criar uma realização do processo e (ii) selecionar um par de pontos aleatoriamente, as suposições implicam que os dois pontos são selecionados de maneira uniforme e independente do círculo. O cálculo para esta situação pode ser realizado de uma vez por todas.

Observe que as distâncias ao quadrado e são distribuídas uniformemente, de onde a probabilidade desejada é$r_1 = d_1^2$$r_2 = d_2^2$

$$p(a,b) = \Pr\left(d_1^2 \lt \frac{d_2^2}{a(1 + b d_2^2)}\right) = \int_0^1 d r_2 \int_0^{\max(0, \min(1, r_2 / (a(1 + b r_2))))} d r_1.$$

O e podem ser manipulados dividindo-se em casos. Alguns valores especiais de e têm de ser tratadas. Como a integração é uma janela quadrada sobre uma região genericamente delimitada por linhas e lobos de uma hipérbole (com eixo vertical em e eixo horizontal em ), o resultado é direto, mas confuso; deve envolver expressões racionais em e e algumas funções hiperbólicas inversas (ou seja, logaritmos naturais). Eu fiz o Mathematica escrever:$\max$$\min$$a$$b$$1/(ab)$$-1/b$$a$$b$

$$\begin{array}{ll} \frac{b+1}{b} & \left(-1\leq a<0\land \frac{1}{a}-b\leq 1\land b<-1\right)\\ &\lor \left(a<-1\land \frac{1}{a}-b<1\land b<-1\right) \\ -\frac{1}{b (a b-1)} & \frac{1}{a}-b=1\land a<-1 \\ \frac{a^2 b+2 a b+a-2}{2 (a b-1)} & b=0\land a>0\land \frac{1}{a}-b>1 \\ \frac{b-\log (b+1)}{a b^2} & a>0\land \frac{1}{a}-b\leq 1\land b>-1 \\ \frac{a b^2+a b-a b \log (b+1)-b+\log (b+1)}{a b^2 (a b-1)} & a>0\land \frac{1}{a}-b\leq 1\land b\leq -1 \\ \frac{\log (1-a b)}{a b^2} & a>0\land \frac{1}{a}-b>1\land b\leq -1 \\ \frac{a b^2+a b+\log (1-a b)}{a b^2} & \left(-1<b<0\land a>0\land \frac{1}{a}-b>1\right) \\ & \lor \left(b>0\land a>0\land \frac{1}{a}-b>1\right) \\ \frac{b-\log ((-b-1) (a b-1))}{a b^2} & a<0\land \frac{1}{a}-b>1 \end{array}$$

A integração numérica e a simulação nos intervalos e confirmam esses resultados.$-2 \le a \le 2$$-5 \le b \le 5$

Editar

A questão modificado pede para substituir por e assume e ambos positivos. Ao fazer uma substituição , a região de integração permanece a mesma e o integrando se torna vez de . Escrevendo , obtemos$d_i^2$$d_i^\alpha$$a$$b$$r_i = d_i^\alpha$$(2/\alpha)^2(r_1 r_2)^{2/\alpha-1}$$1$$\theta = \alpha/2$

$$\frac{1}{2} a^{-1/\theta } \, _2F_1\left(\frac{1}{\theta },\frac{2}{\theta };\frac{\theta +2}{\theta };-b\right)$$

quando ou ; caso contrário, o resultado é$(a>0\land a<1\land a b+a\geq 1)$$a\geq 1$

$$-a^{\frac{1}{\theta }} \left(\frac{1}{1-a b}\right)^{\frac{1}{\theta }}+\frac{1}{2} a^{\frac{1}{\theta }} (1-a b)^{-2/\theta } \, _2F_1\left(\frac{1}{\theta },\frac{2}{\theta };\frac{\theta +2}{\theta };1+\frac{1}{a b-1}\right)+1.$$

Aqui, é a função hipergeométrica. O caso original de corresponde a e, em seguida, essas fórmulas se reduzem ao quarto e sétimo dos oito casos anteriores. Eu verifiquei este resultado com uma simulação, deixando variar de a e cobrindo intervalos substanciais de e .$_2F_1$$\alpha=2$$\theta=1$$\theta$$1$$3$$a$$b$

Esse problema pode ser resolvido decompondo-se em partes e usando as propriedades de um processo de Poisson .

Ele ajuda a lembrar como para gerar um processo de Poisson de intensidade em um subconjunto limitado de . Primeiro, geramos uma variável aleatória Poisson com taxaondedenota Lebesgue medida, e, em seguida, estes polvilhar pontos uniformemente no interior aleatória de .$\rho$$\newcommand{\A}{\mathcal A}$$\mathbb R^2$$N$$\rho |\mathcal A|$$|\cdot|$$N$$\A$

Isto imediatamente nos diz que, enquanto , se escolhermos dois pontos (sem substituição) de forma aleatória, em seguida, estes dois pontos será independente e uniformemente distribuído em . Quando , temos que fazer algo e uma escolha natural é definir a probabilidade desejada como zero. Observe que isso acontece com a probabilidade Essa é a única parte do problema que depende da intensidade do processo de Poisson.$N \geq 2$$\A$$N < 2$

$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(N < 2) = (1+\rho|\A|) e^{-\rho|\A|} \>.$$

Probabilidade condicional em$\{N \geq 2\}$

Estamos interessados ​​na probabilidade onde , e . Aqui e são os raios de dois dos nossos pontos distribuídos uniformemente que caem em .

$$p(A,B,r) := \Pr\Big( d_1^2 \leq \frac{d_2^2}{A(1+B d_2^2)}\Big) \>,$$ $A > 0$$B > 0$$\A = \{x : \|x\|_2 \leq r\}$$d_1$$d_2$$\A$

Observe que, para um ponto distribuído aleatoriamente no disco do raio , a distribuição da distância da origem é , a partir da qual podemos ver que tem a mesma distribuição que onde . A partir disso, podemos reafirmar a probabilidade de interesse como $r$$\Pr(D \leq d) = (d/r)^2$$D^2$$r^2 U$$U \sim \mathcal U(0,1)$

$$p(A,B,r) = \Pr\Big( U_1 \leq \frac{U_2}{A(1+B r^2 U_2)}\Big) = \iint 1_{(0 < x < 1)} 1_{(0 < y < 1)} 1_{(0 < y < x/(A+ABr^2 x))} \,\mathrm dy \, \mathrm dx \>.$$

Essa integral se divide em dois casos. Para calcular, precisamos da integral geral

$$\int_0^t \frac{x}{a+bx} \,\mathrm d x = \frac{1}{b} (t - \frac{a}{b} \log(1+bt/a)) \>.$$

Caso 1 : .$A(1+B r^2) \geq 1$

Aqui vemos que para , então $u \leq A(1+B r^2 u)$$u \in [0,1]$

$$p(A,B,r) = \frac{1}{ABr^2}\Big(1 - \frac{\log(1+B r^2)}{B r^2}\Big) \>.$$

Caso 2 : .$A(1+B r^2) < 1$

Aqui a integral para divide em duas partes, pois em . Portanto, integramos até usando a integral geral e depois aderimos a uma área de adição de para a segunda peça. Portanto, obtemos $p(A,B,r)$$u \geq A(1+B r^2 u)$$[A/(1-ABr^2),1]$$t = A/(1-A B r^2)$$1-A/(1-ABr^2)$

$$\begin{align} p(A,B,r) &= \frac{1}{B r^2} \Big(\frac{1}{1-A B r^2} + \frac{\log(1-AB r^2)}{A B r^2}\Big) + 1 - \frac{A}{1 - A B r^2} \\ &= 1 + \frac{1}{B r^2} \Big(1 + \frac{\log(1-AB r^2)}{A B r^2}\Big) \>. \end{align}$$

Muitas vezes uma imagem ajuda; Aqui está um que mostra um exemplo da região de integração para cada caso. Observe que está no eixo e no eixo .$U_1$$y$$U_2$$x$

A probabilidade final de interesse é então, é claro, .$(1 - (1+\rho\pi r^2) e^{-\rho\pi r^2} ) p(A,B,r)$

Uma fácil generalização

Podemos facilmente generalizar o resultado para usar uma bola de formato diferente. De fato, para qualquer norma arbitrária em , a probabilidade condicional é invariável desde que utilizemos a bola induzida pela norma em vez do círculo!$\mathbb R^2$$p(A,B,r)$

Isso ocorre porque, independentemente da norma escolhida, o raio ao quadrado é distribuído uniformemente. Para ver por que, seja uma norma em e a bola de raio sob a norma . Observe que se e somente se . A escalada para cima ou para baixo da bola unitária é uma transformação linear e, por um fato padrão sobre a medida de Lebesgue, a medida de uma transformação linear de é já que$\delta(\cdot)$$\mathbb R^2$$B_\delta(r) = \{x: \delta(x) \leq r\}$$r$$\delta$$rx \in B_\delta(r)$$x \in B_\delta(1)$$T$$B_\delta(1)$

$$|B_\delta(r)| = |T B_\delta(1)| = |\det(T)| |B_{\delta(1)}| = r^2 |B_\delta(1)| \>,$$ $T(x) = r x = (r x_1, r x_2)$ neste caso.

Isso mostra que se para distribuído uniformemente em , então O leitor de olhos de águia notará que aqui usamos apenas a homogeneidade da norma e, portanto, um resultado semelhante se aplica em geral a distribuições uniformes em classes de conjuntos fechados sob uma transformação homogênea.$D = \delta(X)$$X$$B_\delta(r)$

$$\Pr(D \leq d) = \frac{|B_\delta(d)|}{|B_\delta(r)|} = (d/r)^2 \>.$$

Aqui está uma imagem com dois pontos selecionados. As normas mostradas são a norma euclidiana, norma, norma, e a norma para . Cada bola unitária é delineada em preto, e a maior bola dentro da qual os dois pontos selecionados aleatoriamente se encontram é desenhada na cor correspondente.$\ell_1$$\sup$$\ell^p$$p = 5$

A probabilidade condicional é a mesma para cada imagem quando a distância é medida usando a norma correspondente.$p(A,B,r)$