Existe um exemplo de dois eventos causalmente dependentes sendo logicamente (probabilisticamente) independentes?

Dois eventos são independentes quando , estou tentando me aprofundar nessa definição e tentar reconciliá-la com nossa idéia intuitiva de independência no mundo real. Eu sinto que a equação pode ser alcançada por acidente, sem qualquer fundamento para uma independência real. $A,B$ $P(A \cap B ) = P(A)P(B)$

Eu estava tentando construir um experimento mental para mostrar que independência probabilística não tem que significar independência causal. Por exemplo, considere os eventos exaustivos e mutuamente mutuantes:

$A$ : não está chovendo
$B$ : a grama não é verde
$C$ : está chovendo e a grama é verde

Eu estava tentando atribuir probabilidades: maneira tão bacana que produza (está chovendo) e (a grama é verde) independente. Teríamos: E de nossa independência desejada: O que implica que: No entanto, isso acontece apenas se ou ; nesse caso, não há razão para falar sobre os eventos como tendo alguma causalidade. $P(A) := p, P(B) := q, P(C) = 1 - p - q$ $A^c$ $B^c$

P (A^{c} \cap B^{c}) = P (C) = 1 - p - q

$P(A^c \cap B^c ) = P(C) = 1-p-q$

P (A^{c} \cap B^{c}) = P (A^{c}) P (B^{c}) = (1 - P (A)) (1 - P (B)) = (1 - p) (1 - q)

$P(A^c \cap B^c ) = P(A^c)P(B^c) = (1-P(A))(1-P(B)) = (1 - p)(1 - q)$

1 - p - q = (1 - p) (1 - q)

$1-p-q = (1 - p)(1 - q)$

p = 0

$p=0$

q = 0

$q=0$

Existe algum exemplo intuitivo e rápido do que eu estava tentando demonstrar? Eu estava a pensar em alguma variável ter uma influência causal sobre a , mas também em alguns terceira variável que tem o efeito oposto em . Isso significa que e são independentes, mas não consigo encontrar as ferramentas certas. $A$ $B$ $C$ $B$ $A$ $B$

probability independence philosophical

— Martin Drozdik
fonte

Seus cálculos estão errados - A e B não são mutuamente desunidos!

— Zahava Kor

@ZahavaKor Obrigado pelo seu comentário, no entanto, eu nunca disse que a grama é verde somente se chover. De qualquer forma, todo o exemplo está incorreto e é por isso que estou fazendo essa pergunta. Eu só queria compartilhar meus processos de pensamento até agora. Você tem algum bom exemplo?

— Martin Drozdik

A definição de independência probabilística pode ser expressa em termos de probabilidade condicional como P (B / A) = P (B), o que significa que saber que A aconteceu não altera a probabilidade de ocorrência de B. Como você espera encontrar um contra-exemplo? Isso é muito improvável (trocadilhos).

— Zahava Kor

Não está claro o que você quer dizer com "influência causal". Não é (que eu saiba) um conceito probabilístico e, portanto, não está claro como ele deve se encaixar na teoria. Mas a dependência claramente funcional implica dependência probabilística: se é uma variável aleatória e , e são independentes se e somente se for uma função constante. Eu esperaria o mesmo de qualquer definição significativa de dependência causal.

X

$X$

Y = f (X)

$Y = f(X)$

X

$X$

Y

$Y$

f

$f$

— Olivier

@ZahavaKor yupps, acabei de perceber o que você quer dizer com "não se desmotiva". Desculpe meu erro.

— Martin Drozdik

Respostas:

Considere uma porta OR exclusiva (XOR) que é um circuito eletrônico (porta lógica) com duas entradas e e uma saída que assumem valores no conjunto discreto . Pense nelas como variáveis booleanas (ou variáveis aleatórias de Bernouiii, se quiser). é causalmente relacionado a e pela operação Exclusive-OR: se você é um Booleander ou se você é um Bernoullist. Seja como for, suponha que $X$ $Y$ $Z$ $X,Y,Z$ $\{0, 1\}$ $Z$ $X$ $Y$

Z = X \oplus Y = X \bar{Y} \lor \bar{X} Y

$Z = X\oplus Y = X\bar{Y} \,\vee\, \bar{X}Y$

Z = X (1 - Y) + (1 - X) Y = X + Y - 2 X Y

$Z = X(1-Y)+(1-X)Y= X + Y -2XY$

X

$X$ e são independentes (o que significa que para todos os em . Então, Tudo está correto até agora? Agora, suponha que . Então, é fácil verificar que também agora,. e são muito definitivamente causalmente relacionada: a saída de uma porta XOR não dependem de sua entrada (s) Mas, a. evento ocorre se e somente se o evento

Y

$Y$

P (X = a, Y = b) = P (X = a) P (Y = b)

$P(X=a,Y=b) = P(X=a)P(Y=b)$

a, b

$a,b$

{0, 1}

$\{0, 1\}$

\begin{aligned} P (Z = 1) & = P (X \neq Y) \\ = P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) \\ = P (X = 1) P (Y = 0) + P (X = 0) P (Y = 1) . \end{aligned}

$\begin{align}P(Z=1) &= P(X\neq Y)\\ &=P(X=1, Y=0) + P(X=0, Y=1)\\ &= P(X=1)P(Y=0) + P(X=0)P(Y=1).\end{align}$

P (X = 1) = P (Y = 1) = \frac{1}{2}

$P(X=1) = P(Y=1)= \frac 12$

P (Z = 1) = \frac{1}{2}

$P(Z=1) = \frac 12$

Z

$Z$

X

$X$

{Z = 1, X = 1}

$\{Z=1,X=1\}$

{X = 1, Y = 0}

$\{X=1, Y=0\}$ ocorre e, portanto, mostrando que os eventos causalmente relacionados e são de fato probabilisticamente independentes. Da mesma forma, e independentemente, de fato, os três eventos , e são pareado independente, mas não mutuamente independente desde que

P (Z = 1, X = 1) = P (X = 1, Y = 0) = \frac{1}{4} = P (Z = 1) P (X = 1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}

$P(Z=1, X=1) = P(X=1,Y=0) = \frac 14 = P(Z=1)P(X=1) = \frac 12\times \frac 12$

{Z = 1}

$\{Z=1\}$

{X = 1}

$\{X=1\}$

{Z = 1}

$\{Z=1\}$

{Y = 1}

$\{Y=1\}$

{X = 1}

$\{X=1\}$

{Y = 1}

$\{Y=1\}$

{Z = 1}

$\{Z=1\}$

P (X = 1, Y = 1, Z = 1) = 0 \neq P (X = 1) P (Y = 1) P (Z = 1) = \frac{1}{8} .

$P(X=1, Y=1, Z=1) = 0 \neq P(X=1)P(Y=1)P(Z=1) = \frac 18.$

Assim, a dependência causal não precisa ser refletida na dependência probabilística ; é possível que eventos causalmente dependentes sejam probabilisticamente independentes. Também devo dizer que esta independência probabilística é puramente uma propriedade da probabilidade medida: se tomarmos ou para ser qualquer número entre outra do que a que Eu escolhi sorrateiramente acima, a independência probabilística desaparece e os eventos causalmente dependentes também são probabilisticamente dependentes. $P(X=1)$ $P(Y=1)$ $(0,1)$ $\frac 12$

Antes que você pense que este é um exemplo excêntrico que dificilmente será encontrado na vida real, considere o padrão ouro na teoria e na prática estatística: três padrões normais variáveis aleatórias . Agora, suponha que a densidade de suas articulações não seja que é a densidade normal padrão (como seria o caso se fossem variáveis aleatórias normais padrão mutuamente independentes ), mas sim $X,Y,Z$ $f_{X,Y,Z}(x,y,z)$ $\phi(x)\phi(y)\phi(z)$ $\phi(\cdot)$ $X,Y,Z$

\begin{matrix} (1) & f_{X, Y, Z} (x, y, z) = {\begin{cases} 2 ϕ (x) ϕ (y) ϕ (z) & if x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, \\ or if x < 0, y < 0, z \geq 0, \\ or if x < 0, y \geq 0, z < 0, \\ or if x \geq 0, y < 0, z < 0, \\ 0 & otherwise. \end{cases} \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(x,y,z) = \begin{cases} 2\phi(x)\phi(y)\phi(z) & ~~~~\text{if}~ x \geq 0, y\geq 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y < 0, z \geq 0,\\ & \text{or if}~ x < 0, y\geq 0, z < 0,\\ & \text{or if}~ x \geq 0, y< 0, z < 0,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}\tag{1}$ Observe que , e não são um conjunto de três variáveis aleatórias normais em conjunto (ou seja, elas não têm uma distribuição normal multivariada), mas pode ser demonstrado que qualquer uma dessas duas é de fato um par de variáveis independentes. variáveis aleatórias normais padrão. Para detalhes da verificação, consulte a segunda metade desta resposta minha .

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

— Dilip Sarwate
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Obrigado! Esta é uma ótima resposta e exatamente o que eu estava procurando. Impressionante!

— Martin Drozdik 18/02/19

@MartinDrozdik Mas a resposta que você já aceitou exclui exemplos patológicos e devido à falta de uma "suposição de fidelidade". Não tenho certeza do que exatamente é "infiel" no que escrevi na minha resposta acima (escolher variáveis aleatórias de Bernoulli para ter o parâmetro que é o padrão na ausência de quaisquer noções preconcebidas é falta de fé?), Mas estou certo de que não tenho fé? não é um filósofo.

\frac{1}{2}

$\frac 12$

— Dilip Sarwate

Um exemplo esclarecedor. A independência entre e ainda persiste, independentemente do valor de , desde que . A independência também vale para e , independentemente de . A independência neste exemplo, no entanto, depende da causa selecionada não ser suficiente. Mas mesmo causas suficientes podem ser probabilisticamente independentes de seus efeitos.

X

$X$

Z

$Z$

P (X = 1)

$P(X = 1)$

P (Y = 1) = \frac{1}{2}

$P(Y = 1) = \frac{1}{2}$

P (X = 1) = 1

$P(X = 1) = 1$

P (X = 1) = 0

$P(X = 1) = 0$

P (Y = 1)

$P(Y = 1)$

— CarbonFlambe - Restabelece Monica

Na modelagem causal, esse tipo de coisa é possível nos casos em que existem múltiplos efeitos causais, e eles se cancelam exatamente em um sentido probabilístico. Portanto, é possível que cause , mas também cause , e , e esses últimos eventos têm um efeito causal negativo em , de uma maneira que cancela exatamente o efeito causal direto de . $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{B}$ $\mathcal{A}$

Nos modelos de causalidade probabilística, esse tipo de situação patológica é geralmente descartada por uma suposição de fidelidade , que assume que as relações probabilísticas são "fiéis" à estrutura causal subjacente e não se cancelam. Um manual básico sobre causalidade probabilística e a suposição de fidelidade pode ser encontrado na Enciclopédia de Filosofia de Stanford .

— Ben - Restabelecer Monica
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Exemplos podem ser criados à vontade, porque a causa diz respeito à verdade, mas a probabilidade diz respeito à lógica.

Suponha que seja um fato que e e causem . Agora considere as informações fornecidas . Então $A \in \mathcal{A}$ $B \in \mathcal{B}$ $A = x$ $B = y$ $\mathcal{I} \equiv \unicode{8220}\text{$A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$}\unicode{8221}$

\begin{aligned} p r o b (A = a, B = b | I) & = p r o b (A = a | I) p r o b (B = b | I) \\ = \frac{1}{| A | | B |} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{prob}(A = a, B = b | \mathcal{I}) &= \mathrm{prob}(A = a | \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(B = b | \mathcal{I}) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{A}||\mathcal{B}|} \end{align}$

porque independência é a distribuição máxima de entropia consistente com . $\mathcal{I}$

Os eventos são logicamente independentes, dados , apesar de serem causalmente dependentes. $\mathcal{I}$

Não faz sentido falar que os eventos são logicamente independentes na ausência de quaisquer premissas: a lógica requer premissas. As causas, por outro lado, existem independentemente de nossas suposições.

As idéias sobre causalidade, é claro, são elas mesmas lógicas e bastante distintas das causas em si. Portanto, se procurarmos comparar idéias causais sobre eventos com idéias lógicas sobre esses eventos, na verdade elas são a mesma coisa. Por exemplo, se tivermos , depois $\mathcal{I} \equiv \unicode{8220} \text{$A \in \mathcal{A}$ and $B \in \mathcal{B}$ and $A = x$ causes $B = y$}\unicode{8221}$

\begin{aligned} p r o b (A = a, B = b | I) & = p r o b (B = b | A = a, I) p r o b (A = a | I) \\ = \frac{1}{| A |} {\begin{cases} δ_{b y} & A = x \\ \frac{1}{| B |} & A \neq x \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{prob}(A = a, B = b | \mathcal{I}) &= \mathrm{prob}(B = b | A = a, \mathcal{I}) \: \mathrm{prob}(A = a | \mathcal{I}) \\ &= \frac{1}{|\mathcal{A}|} \begin{cases} \delta_{b y} & A = x \\ \frac{1}{|\mathcal{B}|} & A \neq x \end{cases} \end{align}$

então a lógica expressa a idéia causal.

— CarbonFlambe - Restabelecer Monica
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