Distribuição normal multivariada do coeficiente de regressão?

Ao ler um livro sobre regressão, encontrei o seguinte parágrafo:

A estimativa dos mínimos quadrados de um vetor de coeficientes de regressão linear ( ) é $\beta$

$\hat{β} = (X^{t} X)^{- 1} X^{t} y$ $\hat{\beta} = (X^{t}X)^{-1}{X^t}y$
que, quando visto como uma função dos dados (considerando os preditores como constantes), é uma combinação linear dos dados. Usando o Teorema do Limite Central, pode ser demonstrado que a distribuição de será aproximadamente multivariada normal se o tamanho da amostra for grande. $y$ $X$ $\beta$

Definitivamente, estou perdendo algo no texto, mas não entendo como um único valor pode ter uma distribuição? Como os múltiplos valores de são gerados para obter a distribuição mencionada no texto? $\beta$ $\beta$

multiple-regression

— acima
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é o vetor de coeficientes de regressão - isso esclarece a confusão?

β

$\beta$

— Macro

β

$\beta$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

H = (X^{t} X)^{- 1} X^{t}

$H = (X^tX)^{-1}X^t$

y

$y$

H

$H$

y

$y$

@ Taylor Mas como você sabe a distribuição de B se a única coisa que sei é que o "tamanho da amostra é grande"?

— upabove 17/05/12

@ Taylor O componente individual do beta-fatorator terá distribuição apenas se o componente de erro no modelo de regressão for gaussiano com 0 média e variância constante. No caso não normal, você não conheceria necessariamente sua distribuição sob a hipótese nula, mas ainda assim pode ser assintoticamente normal. No entanto, como whuber afirma, o teorema do limite central pode não se sustentar porque é uma média ponderada e precisamos saber que os pesos não mudam com o tamanho da amostra de uma maneira que permita que alguns termos dominem a soma.

— Michael R. Chernick

$\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$

— user3451767
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