Por que usar uma distribuição beta no parâmetro Bernoulli para regressão logística hierárquica?

Atualmente, estou lendo o excelente livro "Doing Bayesian Data Analysis" de Kruschke. No entanto, o capítulo sobre regressão logística hierárquica (capítulo 20) é um tanto confuso.

A Figura 20.2 descreve uma regressão logística hierárquica em que o parâmetro de Bernoulli é definido como uma função linear nos coeficientes transformados através de uma função sigmóide. Essa parece ser a maneira como a regressão logística hierárquica é apresentada na maioria dos exemplos que eu já vi em outras fontes online também. Por exemplo - http://polisci2.ucsd.edu/cfariss/code/SIMlogit02.bug

No entanto, quando os preditores são nominais, ele adiciona uma camada na hierarquia - o parâmetro Bernoulli agora é extraído de uma distribuição beta (Figura 20.5) com parâmetros determinados por mu e kappa, em que mu é a transformação sigmóide da função linear dos coeficientes , e kappa usa uma gama anterior.

Isso parece razoável e análogo ao exemplo de troca de moedas do capítulo 9, mas não vejo o que ter preditores nominais tem a ver com adicionar uma distribuição beta. Por que não se faria isso no caso de preditores de métricas e por que a distribuição beta foi adicionada para os preditores nominais?

EDIT: Esclarecimento sobre os modelos que estou me referindo. Primeiro, um modelo de regressão logística com preditores de métricas (sem beta anterior). Isso é semelhante a outros exemplos de regressão logística hierárquica, como o exemplo de bugs acima:

$$y_i \sim \operatorname{Bernoulli}(\mu_i) \\ \mu_i = \operatorname{sig}(\beta_0 + \sum_j \beta_j x_{ji} ) \\ \beta_0 \sim N(M_0, T_0) \\ \beta_j \sim N(M_\beta, T_\beta) \\ $$

Em seguida, o exemplo com preditores nominais. Aqui é onde eu não entendo bem o papel do nível "inferior" da hierarquia (incorporando o resultado logístico em uma versão beta anterior para um binômio) e por que deve ser diferente do exemplo da métrica.

$$z_i \sim \operatorname{Bin}(\theta_i, N) \\ \theta_i \sim \operatorname{Beta}(a_j, b_j) \\ a_j = \mu_j \kappa \\ b_j = (1- \mu_j) \kappa \\ \kappa \sim \Gamma(S_\kappa, R_\kappa) \\ \mu_j = \operatorname{sig}(\beta_0 + \sum_j \beta_j x_{ji} ) \\ \beta_0 \sim N(M_0, T_0) \\ \beta_j \sim N(0, \tau_\beta) \\ \tau_\beta = 1/\sigma_{\beta}^2 \\ \sigma_{\beta}^2 \sim \operatorname{folded t} (T_t, DF)$$

Os dois modelos que você compara têm muitos recursos estranhos, e acho que você pode reafirmar sua pergunta mais claramente no contexto dos dois modelos simplificados a seguir:

Modelo 1:

$$\begin{align} y_i | \mu_i &\sim \operatorname{Bern}( \mu_i ) \\ \mu_i &\sim \pi(\mu_i) \end{align}$$

Modelo 2:

$$\begin{align} y_i | \theta_i & \sim \operatorname{Bern}( \theta_i ) \\ \theta_i | \mu_i,\kappa &\sim \operatorname{Beta}\big( \mu_i\kappa, (1-\mu_i)\kappa \big) \\ \mu_i&\sim \pi(\mu_i) \end{align}$$

Suas perguntas são: (1) qual o papel desempenhado pela distribuição beta; e relacionados, (2) como (se é que existe) o Modelo 2 é diferente do Modelo 1?

$\mu_i$$\mu_i$

$$\begin{gather} p(\mu_i|y_i) \propto \mu_i^{y_i}(1-\mu_i)^{1-y_i}\pi(\mu_i) \end{gather}$$ $\mu_i$ $$\begin{align} p(\mu_i|y_i,\kappa) &\propto \int^1_0 \frac{\theta_i^{y_i + \mu_i\kappa - 1}(1-\theta_i)^{\kappa(1-\mu_i)-y_i}}{B\big(\kappa\mu_i,\kappa(1-\mu_i)\big)} d\theta \,\pi(\mu_i) \\ &\propto \frac{B\big(y_i+\mu_i\kappa,1-y_i+\kappa(1-\mu_i)\big)\pi(\mu_i) }{B\big(\kappa\mu_i,\kappa(1-\mu_i)\big)} \\ &\propto \mu_i^{y_i}(1-\mu_i)^{1-y_i} \pi(\mu_i) \end{align}$$

Portanto, qualquer vantagem obtida com o uso do Modelo 2 é computacional. Superparametrizar modelos hierárquicos, como a adição de$\theta_i$no modelo 2, às vezes pode melhorar a eficiência do procedimento de amostragem; por exemplo, introduzindo relacionamentos condicionalmente conjugados entre grupos de parâmetros (consulte a resposta de Jack Tanner) ou interrompendo a correlação entre parâmetros de interesse (google "Expansão de parâmetros").

The reason for drawing the Bernoulli parameter from a beta distribution is that the beta is conjugate to the binomial. Using a conjugate prior distribution enables a closed-form solution to finding the posterior.

EDIT: clarifying. Either model will work. Even with MCMC, it's useful to have conjugate priors because that permits the use of specialized samplers for various types of distributions that are more efficient than generic samplers. For example, see the JAGS user manual sec. 4.1.1 and sec 4.2.