Como calcular os valores esperados de eventos compostos?

Uma dica útil seria apreciada porque parece que não consigo descobrir como calcular o valor esperado

Um lote contém 17 itens, cada um dos quais sujeito a inspeção por dois engenheiros de garantia de qualidade. Cada engenheiro seleciona aleatoriamente e independentemente 4 itens do lote. Determine o número esperado de itens selecionados por:

uma. ambos os engenheiros b. nenhum engenheiro c. exatamente um engenheiro.

Este é um exercício para usar variáveis ​​indicadoras. Um indicador tem o valor para indicar que alguma condição é válida e, caso contrário, tem o valor . Problemas aparentemente difíceis sobre probabilidade e expectativa podem ter soluções simples que exploram indicadores e linearidade de expectativa - mesmo quando as variáveis ​​aleatórias envolvidas não são independentes. Para aqueles que são novos nessas idéias, detalhes completos são fornecidos abaixo.$1$$0$

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Ligue para os engenheiros "X" e "Y". Seleção do modelo X por meio de variáveis ​​indicadoras , onde$17$$X_i,\ i=1,2,\ldots,17$

$$\left\{\matrix{X_i=1 & \text{ when X selects i}\\X_i=0 & \text{ otherwise.}}\right.$$

Da mesma forma, defina as variáveis ​​indicadoras para a seleção de Y.$Y_i$

Podemos expressar as condições no problema algebricamente:

• O indicador que é selecionado por ambos é .$i$$X_iY_i$
• O indicador que está selecionado por nenhum deles é .$i$$(1-X_i)(1-Y_i)$
• O indicador de que é selecionado apenas por X é .$i$$X_i(1-Y_i)$
• O indicador de que é selecionado apenas por Y é .$i$$(1-X_i)Y_i$

O número total selecionado por é$X$

$$4 = X_1 + X_2 + \cdots + X_{17} = \sum_{i=1}^{17}X_i.$$

Claramente, todas as variáveis ​​são identicamente distribuídas. Vamos ser a sua expectativa comum. Porque$34$$\mu$

$$4 = E[4] = E\left[\sum_{i=1}^{17}X_i\right] = \sum_{i=1}^{17}E[X_i] = \sum_{i=1}^{17}\mu = 17\mu,$$

nós deduzimos

$$\mu = \frac{4}{17}.$$

Embora as variáveis ​​não sejam independentes, o é assumido independente do .$X_i$$Y_i$

uma. Número esperado de itens selecionados por ambos

O número total de itens selecionados por ambos é a soma do . Assim, o número esperado é$X_iY_i$

$$E\left[\sum_{i=1}^{17} X_iY_i\right] = \sum_{i=1}^{17} E\left[X_iY_i\right] = \sum_{i=1}^{17} E\left[X_i\right]E\left[Y_i\right] = \sum_{i=1}^{17} \frac{4}{17}\frac{4}{17} = \frac{4^2}{17}.$$

A independência de e era necessária para expressar cada como o produto de e .$X_i$$Y_i$$E[X_iY_i]$$E[X_i]$$E[Y_i]$

b. Número esperado de itens selecionados por nenhum

O número total de itens selecionados por nenhum dos dois é a soma de . Como todos os são independentes de todos os , exatamente o mesmo método usado em (a) se aplica; a única alteração é que é substituído por . O valor deve ser$(1-X_i)(1-Y_i)$$1-X_i$$1-Y_i$$4/17$$E[1-X_i]=E[1-Y_i]=13/17$

$$E\left[\sum_{i=1}^{17} (1-X_i)(1-Y_i)\right] =\frac{13^2}{17}.$$

c. Número esperado de itens selecionados por exatamente um

Isso pode ser resolvido como em (a) ou (b), dando como a chance de ser selecionado apenas por X e como a chance de ser selecionado apenas por Y. A resposta é a soma desses eventos (disjuntos), iguais a .$4/17\times 13/17 = 52/17$$13/17\times 4/17=52/17$$104/17$

Um atalho (ou cheque do trabalho) é a nota que cada item cai exatamente uma das categorias tanto , nem , ou exatamente um , e, portanto, a resposta deve ser a diferença entre o total ( ) e a soma das respostas a (a) e (b):$17$

$$17 - \frac{4^2}{17} - \frac{13^2}{17} = \frac{104}{17}.$$

Verificar via simulação

Vamos realizar 10.000 (digamos) simulações dessas seleções e acompanhar os resultados. Podemos produzir (a) o número médio de itens selecionados por ambos, (b) o número médio de itens selecionados por nenhum dos dois e (c) o número médio de itens selecionados por exatamente um. Abaixo desta saída, como referência, vamos imprimir as respostas dadas em (a), (b) e (c). Não tentaremos ser eficientes: o objetivo é modelar o processo de seleção conforme descrito e contar os eventos diretamente, sem truques aritméticos. Aqui está um Rcódigo que faz isso de uma maneira bastante perspicaz e ainda leva apenas cerca de um segundo:

n.sim <- 1e4 # Number of iterations
n <- 17      # Number of items
k <- 4       # Numbers chosen by each engineer

set.seed(17) # Creates reproducible output
sim <- replicate(n.sim, {
  x <- sample.int(n, k)                       # X chooses `k` items
  y <- sample.int(n, k)                       # Y chooses 'k' items
  x.and.y <- intersect(x,y)                   # Find those chosen by both
  not.x.and.not.y <- setdiff(1:n, union(x,y)) # ... .... chosen by neither
  x.only <- setdiff(x, y)                     # ... .... chosen only by x
  y.only <- setdiff(y, x)                     # ... .... chosen only by y
  c(Both=length(x.and.y),                     # Count those chosen by both
    Neither=length(not.x.and.not.y),          # Count those chosen by neither
    One=length(x.only) + length(y.only)       # Count those chosen by one
  )
})

signif(rbind(Simulation=rowMeans(sim),                   # Average the simulations
      Theory=c(k^2/n, (n-k)^2/n, n-(k^2+(n-k)^2)/n)), 4) # Give theoretical values

As duas linhas de saída - média em muitas tentativas simuladas e respostas teóricas fornecidas anteriormente - são próximas o suficiente para apoiar a correção das respostas:

             Both Neither   One
Simulation 0.9315   9.932 6.137
Theory     0.9412   9.941 6.118