Propriedade de soma zero da diferença entre os dados e a média

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Sou novo em estudos estatísticos e neste site e me deparei com a "propriedade de soma zero" no meu livro sobre a média. Parece ser simples, mas ainda não consigo entender a noção. A única informação fornecida com a fórmula é

a soma da diferença entre cada valor de uma variável , anotada , e o valor médio de , anotada como , é igual a zero. $Y$ $Y_i$ $Y$ $\bar Y$

Alguém poderia explicar melhor o conceito?

mean

— MK Qn
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Você já tem respostas mais formais. Essa resposta deve lhe dar alguma "intuição" por trás da matemática.

A média aritmética é sensível aos seus dados (incluindo valores discrepantes) . Imagine uma alavanca , como a ilustrada abaixo. Seus dados são as bolas laranja que se encontram em uma viga (imagine que seja um eixo x de algum tipo de gráfico e seus dados sejam valores espalhados em várias posições). Para que a haste esteja na posição horizontal, a dobradiça precisa ser colocada em um local que equilibre as bolas. Você pode se lembrar da física elementar (ou apenas das experiências de playground da sua infância), que a colocação das bolas desempenha um papel no quanto elas influenciam a alavanca. As bolas "periféricas", como as chamamos nas estatísticas, têm uma influência muito maior do que as bolas desordenadas em torno do "centro". Média é o valor que coloca a dobradiça na posição exata que equilibra a alavanca.

Então, podemos dizer que a média está no centro, entre os valores. O centro é definido em termos de distâncias (ou seja, diferenças) entre os pontos e a média. Como está no centro, esperamos que as distâncias sejam equilibradas, ou seja, zerem uma à outra, portanto a soma das distâncias precisa ser zero e a média possui essa propriedade (e apenas a média).

Verifique também a média aritmética relacionada . Por que isso funciona? thread em math.stackexchange.com.

— Tim
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Isso vale para o estimador médio simples de baunilha, não para a média populacional (no limite) ou para estimadores médios mais sofisticados. De fato, a maioria dos estimadores de retração produz uma média mais baixa (em termos absolutos) em comparação com o estimador de baunilha; portanto, esse nível realmente não se equilibra.

— Cagdas Ozgenc

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@CagdasOzgenc Estou explicitamente afirmando que isso se aplica à média aritmética.

— Tim

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Não é uma crítica. Observações adicionais. As outras respostas não foram abrangentes o suficiente para comentar.

— Cagdas Ozgenc

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deixar que ser valores de observação de uma variável e deixar $y_1,y_2, \dots, y_n$ $n$ $Y$ denota a média aritmética das observações. A propriedade de soma zero pode ser escrita matematicamente como: Prova:por definição de , temos $\overline{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$

0 0 = \sum_{Eu = 1}^{n} (y_{Eu} - \bar{y}) .

$0 = \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}).$

\bar{y}

$\overline{y}$

e, portanto:

Interpretação:Observe que

n \bar{y} = n \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}

$n\overline{y} = n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n y_i$

\sum_{Eu = 1}^{n} (y_{Eu} - \bar{y}) = \sum_{Eu = 1}^{n} y_{Eu} - n \bar{y} = n \bar{y} - n \bar{y} = 0

$\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}) = \sum_{i=1}^n y_i - n \overline{y} =n \overline{y} - n \overline{y}= 0.$

é essencialmente o "distância" entre a observação

e a média aritmética

onde as informações meteorológicas a observação é menor ou maior do que a média aritmética ainda é preservada através do sinal de

(naturalmente , a distância em si teria que ser não-negativa e seria

).

(y_{i} - \bar{y})

$(y_i - \overline{y})$

y_{i}

$y_i$

\bar{y}

$\overline{y}$

(y_{i} - \bar{y})

$(y_i - \overline{y})$

| y_{i} - \bar{y} |

$|y_i-\overline{y}|$

$\overline{y}$ $Y$ $\overline{y}$ $Y$ $\overline{y}$

De fato, é fácil ver pela prova de que esse é o único número para o qual essa propriedade é válida.

Obviamente, você poderia usar essa propriedade para verificar se os cálculos da média estavam corretos.

— BloXX
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Verba docent exempla trahunt.

Seneka

Tome três números: 1, 2 e 3.

O valor médio é 2

As diferenças entre valores e uma média são:

1-2 = -1

2-2 = 0

3-2 = 1

A soma dessas diferenças é

-1 + 0 + 1 = 0

A propriedade de soma zero afirma que, independentemente dos números com os quais você começa, um resultado (soma das diiferências entre eles e sua média) seria 0

— Łukasz Deryło
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$\sum (x_i - \overline{x}) = 0$

x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}

$x_1,x_2,x_3,...,x_n$

\bar{x} = \frac{\sum x_{Eu}}{n}

$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$

\sum (x_{i} - \bar{x})

$\sum (x_i - \overline{x})$

\sum (x_{Eu} - \bar{x}) = (x_{1} - \frac{\sum x_{Eu}}{n}) + (x_{2} - \frac{\sum x_{Eu}}{n}) + (x_{3} - \frac{\sum x_{Eu}}{n}) + . . . + (x_{n} - \frac{\sum x_{Eu}}{n})

$\sum (x_i - \overline{x}) = \Bigl(x_1-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_2-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) + \Bigl(x_3-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl) +...+\Bigl(x_n-\frac{\sum x_i}{n}\Bigl)$

x_{1} + x_{2} + x_{3} + . . . + x_{n} - (\frac{n \sum x_{Eu}}{n})

$x_1+x_2+x_3+...+x_n-\Bigl(\frac{n\sum x_i}{n}\Bigl)$

\sum x_{Eu} - \sum x_{Eu}

$\sum x_i-\sum x_i$

= 0 0

$=0$

— Chris Wilson
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