Qual é o menor

Defina a estimativa do laço onde a linha da matriz de design é um vetor de covariáveis para explicar a resposta estocástica (para ).

{\hat{β}}^{λ} = \arg min_{β \in R^{p}} \frac{1}{2 n} ‖ y - X β ‖_{2}^{2} + λ ‖ β ‖_{1},

$\hat\beta^\lambda = \arg\min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \frac{1}{2n} \|y - X \beta\|_2^2 + \lambda \|\beta\|_1,$

i^{t h}

$i^{th}$

x_{i} \in R^{p}

$x_i \in \mathbb{R}^p$

X \in R^{n \times p}

$X \in \mathbb{R}^{n \times p}$

y_{i}

$y_i$

i = 1, \dots n

$i=1, \dots n$

Sabemos que para $\lambda \geq \frac{1}{n} \|X^T y\|_\infty$ , a estimativa do laço $\hat\beta^\lambda = 0$ . (Veja, por exemplo, o escopo do parâmetro de ajuste Lasso e Ridge .) Em outra notação, isso está expressando que $\lambda_\max = \frac{1}{n} \|X^T y\|_\infty$ . Observe que $\lambda_\mathrm{max} = \sup_{\hat\beta^\lambda \ne 0} \lambda.$ Podemos ver isso visualmente com a seguinte imagem exibindo o caminho da solução do laço:

Observe que no distante lado direito da trama, todos os coeficientes são zero. Isso acontece no ponto $\lambda_\mathrm{max}$ descrito acima.

A partir deste enredo, nós também notar que na distante lado esquerdo, todos do coeficiente são diferentes de zero: o que é o valor de em que qualquer componente de é inicialmente zero? Ou seja, o que igual a, como uma função de e ? Estou interessado em uma solução de formulário fechado. Em particular, não estou interessado em uma solução algorítmica, como, por exemplo, sugerir que o LARS poderia encontrar o nó através da computação. $\lambda$ $\hat\beta^\lambda$

λ_{min} = min_{\exists j s . t . {\hat{β}}_{j} = 0} λ

$\lambda_\textrm{min} = \min_{\exists j \, \mathrm{ s.t. } \, \hat\beta_j = 0} \lambda$

X

$X$

y

$y$

Apesar dos meus interesses, parece que pode não estar disponível em formato fechado, pois, caso contrário, os pacotes computacionais do laço provavelmente tirariam vantagem disso ao determinar a profundidade do parâmetro de ajuste durante a validação cruzada. À luz disso, estou interessado em qualquer coisa que possa ser teoricamente mostrada sobre e (ainda) particularmente interessada em um formulário fechado. $\lambda_\mathrm{min}$ $\lambda_\mathrm{min}$

lasso regularization

— user795305
fonte

Isto é afirmado e comprovado no artigo glmnet

— Matthew Drury

@MatthewDrury Obrigado por compartilhar isso! No entanto, este documento não parece compartilhar o que você sugere que eles façam. Em particular, observe que meu é o .

λ_{max}

$\lambda_\max$

λ_{min}

$\lambda_\min$

— user795305

Tem certeza de que precisamos da tag [tuning-parameter]?

— Ameba diz Reinstate Monica

você tem razão, geralmente não existe um formulário fechado para a solução do laço (consulte stats.stackexchange.com/questions/174003/… ). no entanto, o lars indica pelo menos o que está acontecendo e sob quais condições exatas / quando você pode adicionar / excluir uma variável. Eu acho que algo assim é o melhor que você pode obter.

— ChRrr 7/07

@chRrr Não sei se é completamente justo dizer: sabemos que para . Ou seja, no caso extremo da solução ser 0, temos uma forma fechada. Estou perguntando se semelhante é verdade no caso extremo da estimativa do laço ser densa (ou seja, sem zeros). Na verdade, eu nem estou interessado nas entradas exatas de --- apenas se elas são zero ou não.

{\hat{β}}^{λ} = 0

$\hat\beta^\lambda = 0$

λ \geq \frac{1}{n} ‖ X^{t} y ‖_{\infty}

$\lambda \geq \frac{1}{n} \|X^t y\|_\infty$

{\hat{β}}_{λ}

$\hat\beta_\lambda$

— user795305

A estimativa do laço descrita na pergunta é o equivalente multiplicador de lagrange do seguinte problema de otimização:

minimize f (β) subject to g (β) \leq t

${\text{minimize } f(\beta) \text{ subject to } g(\beta) \leq t}$

\begin{aligned} f (β) & = \frac{1}{2 n} | | y - X β | |_{2}^{2} \\ g (β) & = | | β | |_{1} \end{aligned}

$\begin{align} f(\beta) &= \frac{1}{2n} \vert\vert y-X\beta \vert\vert_2^2 \\ g(\beta) &= \vert\vert \beta \vert\vert_1 \end{align}$

Essa otimização tem uma representação geométrica de encontrar o ponto de contato entre uma esfera multidimensional e um politopo (estendido pelos vetores de X). A superfície do politopo representa . O quadrado do raio da esfera representa a função e é minimizado quando as superfícies entram em contato. $g(\beta)$ $f(\beta)$

As imagens abaixo fornecem uma explicação gráfica. As imagens utilizaram o seguinte problema simples com vetores de comprimento 3 (para simplificar, a fim de poder fazer um desenho):

[\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1.4 \\ 1.84 \\ 0.32 \end{matrix}] = β_{1} [\begin{matrix} 0.8 \\ 0.6 \\ 0 \end{matrix}] + β_{2} [\begin{matrix} 0 \\ 0.6 \\ 0.8 \end{matrix}] + β_{3} [\begin{matrix} 0.6 \\ 0.64 \\ - 0.48 \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ϵ_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.4 \\ 1.84 \\ 0.32\\ \end{bmatrix} = \beta_1 \begin{bmatrix} 0.8 \\ 0.6 \\ 0\\ \end{bmatrix} +\beta_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 0.6 \\ 0.8\\ \end{bmatrix} +\beta_3 \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.64 \\ -0.48\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3\\ \end{bmatrix}$ e minimizamos com a restrição

ϵ_{1}^{2} + ϵ_{2}^{2} + ϵ_{3}^{2}

$\epsilon_1^2+\epsilon_2^2+\epsilon_3^2$

a b s (β_{1}) + a b s (β_{2}) + a b s (β_{3}) \leq t

$abs(\beta_1)+abs(\beta_2)+abs(\beta_3) \leq t$

As imagens mostram:

A superfície vermelha representa a restrição, um politopo estendido por X.
E a superfície verde representa a superfície minimalizada, uma esfera.
A linha azul mostra o caminho do laço, as soluções que encontramos quando mudamos ou . $t$ $\lambda$
O vetor verde mostra a solução OLS (que foi escolhida como ou . $\hat{y}$ $\beta_1=\beta_2=\beta_3=1$ $\hat{y} = x_1 + x_2 + x_3$
Os três vetores pretos são , e . $x_1 = (0.8,0.6,0)$ $x_2 = (0,0.6,0.8)$ $x_3 = (0.6,0.64,-0.48)$

Mostramos três imagens:

Na primeira imagem, apenas um ponto do politopo está tocando a esfera . Esta imagem demonstra muito bem por que a solução laço não é apenas um múltiplo da solução OLS. A direção da solução OLS é mais forte na soma . Nesse caso, apenas um único é diferente de zero. $\vert \beta \vert_1$ $\beta_i$
Na segunda imagem, uma crista do politopo está tocando a esfera (em dimensões mais altas, obtemos análogos dimensionais mais altos). Nesse caso, vários são diferentes de zero. $\beta_i$
Na terceira imagem, uma faceta do politopo está tocando a esfera . Nesse caso, todos os são diferentes de zero $\beta_i$ .

O intervalo de ou para o qual temos o primeiro e o terceiro casos pode ser facilmente calculado devido à sua representação geométrica simples. $t$ $\lambda$

Caso 1: apenas um único diferente de zero $\beta_i$

O diferente de zero é aquele para o qual o vetor associado tem o valor absoluto mais alto da covariância com (este é o ponto do paralelotopo mais próximo da solução OLS). Podemos calcular o multiplicador de Lagrange abaixo do qual temos pelo menos um diferente de zero usando a derivada com $\beta_i$ $x_i$ $\hat{y}$ $\lambda_{max}$ $\beta$ $\pm\beta_i$ (o sinal depende se aumentamos o na direção negativa ou positiva): $\beta_i$

\frac{\partial (\frac{1}{2 n} | | y - X β | |_{2}^{2} - λ | | β | |_{1})}{\pm \partial β_{i}} = 0

$\frac{\partial ( \frac{1}{2n} \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2^2 - \lambda \vert \vert \beta \vert \vert_1 )}{\pm \partial \beta_i} = 0$

o que leva a

λ_{m uma x} = \frac{(\frac{1}{2 n} \frac{\partial (| | y - X β | |_{2}^{2}}{\pm \partial β_{Eu}})}{(\frac{| | β | |_{1})}{\pm \partial β_{Eu}})} = \pm \frac{\partial (\frac{1}{2 n} | | y - X β | |_{2}^{2}}{\partial β_{Eu}} = \pm \frac{1}{n} x_{Eu} \cdot y

$\lambda_{max} = \frac{ \left( \frac{1}{2n}\frac{\partial ( \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2^2}{\pm \partial \beta_i} \right) }{ \left( \frac{ \vert \vert \beta \vert \vert_1 )}{\pm \partial \beta_i}\right)} = \pm \frac{\partial ( \frac{1}{2n} \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2^2}{\partial \beta_i} = \pm \frac{1}{n} x_i \cdot y$

que é igual a $\vert \vert X^Ty \vert \vert_\infty$ mencionado nos comentários.

onde devemos notar que isso só é verdade para o caso especial em que a ponta do politopo está tocando a esfera ( portanto, essa não é uma solução geral , embora a generalização seja direta).

Caso 3: Todos os são diferentes de zero. $\beta_i$

Nesse caso, uma faceta do politopo está tocando a esfera. Então a direção da mudança do caminho do laço é normal para a superfície da faceta específica.

O politopo tem muitas facetas, com contribuições positivas e negativas do . No caso da última etapa do laço, quando a solução do laço estiver próxima da solução ols, as contribuições do deverão ser definidas pelo sinal da solução OLS. O normal da faceta pode ser definido tomando o gradiente da função , o valor da soma de beta no ponto $x_i$ $x_i$ $\vert \vert \beta(r) \vert \vert_1$ $r$ , que é:

n = - \nabla_{r} (| | β (r) | |_{1}) = - \nabla_{r} (sign (\hat{β}) \cdot (X^{T} X)^{- 1} X^{T} r) = - sign (\hat{β}) \cdot (X^{T} X)^{- 1} X^{T}

$n = - \nabla_r ( \vert \vert \beta(r) \vert \vert_1) = -\nabla_r ( \text{sign} (\hat{\beta}) \cdot (X^TX)^{-1}X^Tr ) = -\text{sign} (\hat{\beta}) \cdot (X^TX)^{-1}X^T$

e a mudança equivalente de beta para essa direção é:

{\vec{β}}_{l a s t} = (X^{T} X)^{- 1} X n = - (X^{T} X)^{- 1} X^{T} [sign (\hat{β}) \cdot (X^{T} X)^{- 1} X^{T}]

$\vec{\beta}_{last} = (X^TX)^{-1}X n = -(X^TX)^{-1}X^T [\text{sign} (\hat{\beta}) \cdot (X^TX)^{-1}X^T]$

que depois de alguns truques algébricos com a mudança das transposições ( $A^TB^T = [BA]^T$ ) e a distribuição de colchetes se torna

{\vec{β}}_{l a s t} = - (X^{T} X)^{- 1} sign (\hat{β})

$\vec{\beta}_{last} = - (X^TX)^{-1} \text{sign} (\hat{\beta})$

normalizamos esta direção:

{\vec{β}}_{l a s t, n o r m a l i z e d} = \frac{{\vec{β}}_{l a s t}}{\sum {\vec{β}}_{l a s t} \cdot s i g n (\hat{β})}

$\vec{\beta}_{last,normalized} = \frac{\vec{\beta}_{last}}{\sum \vec{\beta}_{last} \cdot sign(\hat{\beta})}$

Para encontrar o $\lambda_{min}$ abaixo do qual todos os coeficientes são diferentes de zero. Só precisamos calcular novamente a partir da solução OLS até o ponto em que um dos coeficientes é zero,

d = m i n (\frac{\hat{β}}{{\vec{β}}_{l a s t, n o r m a l i z e d}}) with the condition that \frac{\hat{β}}{{\vec{β}}_{l a s t, n o r m a l i z e d}} > 0

$d = min \left( \frac{\hat{\beta}}{\vec{\beta}_{last,normalized}} \right)\qquad \text{with the condition that } \frac{\hat{\beta}}{\vec{\beta}_{last,normalized}} >0$

, e neste momento avaliamos a derivada (como antes, quando calculamos ). Usamos que, para uma função quadrática, temos : $\lambda_{max}$ $q'(x) = 2 q(1) x$

λ_{m i n} = \frac{d}{n} | | X {\vec{β}}_{l a s t, n o r m a l i z e d} | |_{2}^{2}

$\lambda_{min} = \frac{d}{n} \vert \vert X \vec{\beta}_{last,normalized} \vert \vert_2^2$

Imagens

um ponto do politopo está tocando a esfera, um único é diferente de zero: $\beta_i$

uma crista (ou difere em várias dimensões) do pólipo está tocando a esfera, muitos são diferentes de zero: $\beta_i$

uma faceta do politopo está tocando a esfera, todos são diferentes de zero: $\beta_i$

Exemplo de código:

library(lars)    
data(diabetes)
y <- diabetes$y - mean(diabetes$y)
x <- diabetes$x

# models
lmc <- coef(lm(y~0+x))
modl <- lars(diabetes$x, diabetes$y, type="lasso")

# matrix equation
d_x <- matrix(rep(x[,1],9),length(x[,1])) %*% diag(sign(lmc[-c(1)]/lmc[1]))
x_c = x[,-1]-d_x
y_c = -x[,1]

# solving equation
cof <- coefficients(lm(y_c~0+x_c))
cof <- c(1-sum(cof*sign(lmc[-c(1)]/lmc[1])),cof)

# alternatively the last direction of change in coefficients is found by:
solve(t(x) %*% x) %*% sign(lmc)

# solution by lars package
cof_m <-(coefficients(modl)[13,]-coefficients(modl)[12,])

# last step
dist <- x %*% (cof/sum(cof*sign(lmc[])))
#dist_m <- x %*% (cof_m/sum(cof_m*sign(lmc[]))) #for comparison

# calculate back to zero
shrinking_set <- which(-lmc[]/cof>0)  #only the positive values
step_last <- min((-lmc/cof)[shrinking_set])

d_err_d_beta <- step_last*sum(dist^2)

# compare
modl[4] #all computed lambda
d_err_d_beta  # lambda last change
max(t(x) %*% y) # lambda first change
enter code here

nota: essas últimas três linhas são as mais importantes

> modl[4]            # all computed lambda by algorithm
$lambda
 [1] 949.435260 889.315991 452.900969 316.074053 130.130851  88.782430  68.965221  19.981255   5.477473   5.089179
[11]   2.182250   1.310435

> d_err_d_beta       # lambda last change by calculating only last step
    xhdl 
1.310435 
> max(t(x) %*% y)    # lambda first change by max(x^T y)
[1] 949.4353

Escrito por StackExchangeStrike

— Sextus Empiricus
fonte

Obrigado por incluir as edições! Até agora, na minha leitura, estou presa após a subseção "caso 1". O resultado para derivado é incorreto, pois não inclui um valor absoluto ou máximo. Sabemos ainda que há um erro, uma vez que, na derivação, há um erro de sinal, um lugar onde a diferenciabilidade é incorretamente assumida, uma "escolha arbitrária" de para diferenciar em relação a e uma derivada avaliada incorretamente. Para ser franco, não há um sinal " " válido.

λ_{max}

$\lambda_\max$

i

$i$

=

$=$

— user795305

Eu o corrigi com um sinal de menos. A alteração da versão beta pode ser positiva ou negativa. Em relação à máxima e "escolha arbitrária" ... "para a qual o vetor associado tem a maior covariância com " $x_i$ $\hat{y}$

— Sextus Empiricus

Obrigado pela atualização! No entanto, ainda existem problemas. Por exemplo, é avaliado incorretamente.

\frac{\partial}{\partial β_{i}} ‖ y - X β ‖_{2}^{2}

$\frac{\partial}{\partial \beta_i} \|y - X \beta\|_2^2$

— user795305

Se então essa correlação entra na equação porque, se s = 0, em seguida, apenas a alteração de tangente para está a mudar o comprimento do vector

β = 0

$\beta=0$

\frac{\partial}{\partial β_{i}} | | y - X β | |_{2}^{2}

$\frac{\partial}{\partial\beta_i} \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2^2$

= \frac{\partial | | y - X β | |_{2}}{\partial β_{i}} 2 | | y - X β | |_{2}

$= \frac{\partial \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2}{\partial\beta_i} 2 \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2$

= \frac{\partial | | y - s x_{i} | |_{2}}{\partial s} 2 | | y - X β | |_{2}

$= \frac{\partial \vert \vert y - s x_i \vert \vert_2}{\partial s} 2 \vert \vert y - X\beta \vert \vert_2$

= 2 c o r (x_{i}, y) | | x_{i} | |_{2} | | y | |_{2}

$= 2 cor(x_i,y) \vert \vert x_i \vert \vert_2 \vert \vert y \vert \vert_2$

= 2 x_{i} \cdot y

$= 2 x_i \cdot y$

s x_{i}

$s x_i$

y

$y$

y - s x_{i}

$y - s x_i$

— Sexto Empírico

Ah, ok, então há um limite envolvido no seu argumento! (Você está usando e que um coeficiente é diferente de zero.) Além disso, a segunda igualdade na linha com é enganosa, pois o sinal pode mudar devido à diferenciação do valor absoluto.

β = 0

$\beta = 0$

λ_{max}

$\lambda_\max$

— User795305

Qual é o menor

Caso 1: apenas um único diferente de zeroβiβi\beta_i

Caso 3: Todos os são diferentes de zero.βEuβEu\beta_i

Imagens

Exemplo de código:

Caso 1: apenas um único diferente de zero $\beta_i$

Caso 3: Todos os são diferentes de zero. $\beta_i$