Momentos de uma distribuição - alguma utilidade para momentos parciais ou superiores?

É comum usar o segundo, terceiro e quarto momentos de uma distribuição para descrever certas propriedades. Momentos parciais ou momentos maiores que o quarto descrevem propriedades úteis de uma distribuição?

distributions moments partial-moments

— Eduardas
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Não é uma resposta, mas uma coisa a ter em mente é que os momentos de ordem superior exigem muito mais observações para obter o primeiro sinal.

— Isomorphismes

Uma postagem que está usando momentos parciais é stats.stackexchange.com/questions/94402/… . Portanto, momentos parciais têm alguma utilidade e provavelmente poderiam ser usados mais.

— Kjetil b halvorsen

Respostas:

Além das propriedades especiais de alguns números (por exemplo, 2), a única razão real para destacar momentos inteiros em oposição a momentos fracionários é a conveniência.

Momentos mais altos podem ser usados para entender o comportamento da cauda. Por exemplo, uma variável aleatória centralizada com variância 1 possui caudas subgaussianas (ie para algumas constantes ) se e somente se $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ para cadae alguma constante. $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— Mark Meckes
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o resultado que você indicar para caudas [sub] gaussianas não parece certo. de acordo com o limite [

] você cita, anorma

de uma variável gaussiana centralizada não [no limite] excederá 1. mas anorma

de um rv tende a seu sup sup, que é

para uma variável gaussiana.

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— ronaf 26/09

Obrigado por capturar isso. Eu esqueci o expoente no RHS; está corrigido agora.

— MarkMeckes

você poderia fornecer uma referência para esse resultado?

— Gary

@ Gary: infelizmente não sei uma referência (publicada ou online); faz parte do folclore do meu campo, escrito em cursos, mas escrito como "simples e bem conhecido" nos jornais. A prova é fácil, no entanto. Dada a estimativa da cauda, a estimativa do momento segue da integração por partes (ie

) e a fórmula de Stirling. Dada a estimativa do momento, a estimativa da cauda segue aplicando a desigualdade de Markov e otimizando sobre

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— Mark Meckes

Fico desconfiado quando ouço as pessoas perguntando sobre o terceiro e o quarto momentos. Existem dois erros comuns que as pessoas geralmente têm em mente quando abordam o assunto. Não estou dizendo que você está necessariamente cometendo esses erros, mas eles sempre aparecem.

Primeiro, parece que eles implicitamente acreditam que as distribuições podem ser reduzidas a quatro números; eles suspeitam que apenas dois números não são suficientes, mas três ou quatro devem ser suficientes.

Segundo, parece retomar a abordagem de correspondência de momento para as estatísticas, que perdeu em grande parte os métodos de máxima verossimilhança nas estatísticas contemporâneas.

Atualização: eu expandi esta resposta em uma postagem no blog .

— John D. Cook
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Um exemplo de uso (a interpretação é um qualificador melhor) de um momento mais alto: o quinto momento de uma distribuição univariada mede a assimetria de suas caudas.

— user603
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Mas o terceiro momento (central) não faz isso de maneira mais estável e prática?

— whuber

@Whuber:> o terceiro está medindo a assimetria geral, que não é a mesma coisa que a assimetria da cauda. Por causa do expoente mais alto, o valor do quinto é quase inteiramente determinado pelas caudas.

— user603

@ Kwak: Obrigado por esclarecer seu significado. Obviamente, a mesma resposta poderia ser aplicada a qualquer momento estranho: eles medem a assimetria cada vez mais nas caudas.

— whuber

@Whuber:> Claro. Observe que, mesmo para uma distribuição de cauda justa como a gaussiana, no 7º momento você já está efetivamente comparando o máximo com o mínimo.

— user603

@Kwak: Duas perguntas rápidas de acompanhamento; não há necessidade de responder se você não quiser. (1) "Cauda justa" ?? (2) Quais são os mínimos e máximos de um gaussiano?

— whuber