Não existe uma técnica geral, mas existem alguns princípios simples. Uma é estudar o comportamento da cauda de comparando-o com funções tratáveis.f
Por definição, a expectativa é o limite duplo (como e variam independentemente)zyz
Ey,z[f]=limy→−∞,z→∞∫zyxf(x)dx=limy→−∞∫0yxf(x)dx+limz→∞∫z0xf(x)dx.
O tratamento das duas integrais à direita é o mesmo, então vamos nos concentrar na positiva. Um comportamento de que garante um valor limitador é compará-lo com a potência . Suponha que é um número para o qual Isso significa que existe um e um para o qual sempre que . Podemos explorar essa desigualdade quebrando a integração nas regiões onde e e aplicando-a na segunda região:x - p p lim inf x → ∞ x p f ( x ) > 0. ε > 0 N > 1 x p f ( x ) ≥ ε x ∈ [ N , ∞ ) X < N X ≥ Nfx−pp
lim infx→∞xpf(x)>0.
ϵ>0N>1xpf(x)≥ϵx∈[N,∞)x<Nx≥N
∫z0xf(x)dx=∫N0xf(x)dx+∫zNxf(x)dx=∫N0xf(x)dx+∫zNx1−p(xpf(x))dx≥∫N0xf(x)dx+∫zNx1−p(ϵ)dx=∫N0xf(x)dx+ϵ2−p(z2−p−N2−p).
Desde que , o lado direito diverge como . Quando a integral é avaliada pelo logaritmo,p<2z→∞p=2
∫zNx1−2(ϵ)dx=ϵ(log(z)−log(N)),
que também diverge.
A análise comparável mostra que se para , então existe. Da mesma forma, podemos testar se existe algum momento de : para , a expectativa de existe quando para alguns e não existe quando para alguns . Isso aborda a "questão geral".|x|pf(x)→0p>2E[X]Xα>0|X|α|x|p+αf(x)→0p>1lim inf|x|p+αf(x)>0p≤1
Vamos aplicar esse insight à pergunta. Por inspeção, fica claro que para grandes. Ao avaliar , podemos, portanto, descartar quaisquer termos aditivos que eventualmente serão inundados por. Assim, até uma constante diferente de zero, paraa(x)≈|x|/σ1|x|f|x|x>0
f(x)≈μ1xσ2x3ϕ(μ2xσ2x)=x−2μ1σ2exp((−μ22σ2)2).
Assim aproxima de uma constante diferente de zero. Pelo resultado anterior, a expectativa diverge.x2f(x)
Como é o menor valor de que funciona nesse argumento - passará a zero como para qualquer - é claro (e mais análise detalhada de confirmará) que a taxa de divergência é logarítmica. Ou seja, para grandese, pode ser aproximado de perto por uma combinação linear de e .p | x | p f ( x ) | x | → ∞ p < 2 f | y | | z | E y , z [ f ] log ( | y | ) log ( |2p|x|pf(x)|x|→∞p<2f|y||z|Ey,z[f]log(|y|)log(|z|)