Como provar se existe a média de uma função de densidade de probabilidade

É sabido que, dada uma variável aleatória com valor real com pdf , a média de (se existir) é encontrada por $X$ $f$ $X$

E [X] = \int_{R} x f (x) d x .

$\begin{equation} \mathbb{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}x\,f(x)\,\mathrm{d}x\,. \end{equation}$

Pergunta geral: Agora, se alguém não pode resolver a integral acima em forma fechada, mas quer simplesmente determinar se a média existe e é finita, existe uma maneira de provar isso? Existe (talvez) algum teste que eu possa aplicar ao integrando para determinar se certos critérios são atendidos para que a média exista?

Pergunta específica do aplicativo: Eu tenho o seguinte pdf para o qual quero determinar se a média existe:

f (x) = \frac{| σ_{2}^{2} μ_{1} x + μ_{2} σ_{1}^{2} |}{σ_{1}^{3} σ_{2}^{3} a^{3} (x)} ϕ (\frac{μ_{2} x - μ_{1}}{σ_{1} σ_{2} a (x)}) for x \in R,

$\begin{equation} f(x)=\frac{|\sigma_{2}^{2}\mu_{1}x+\mu_{2}\sigma_{1}^{2}|}{\sigma_{1}^{3}\sigma_{2}^{3}a^{3}(x)}\,\phi\left(\frac{\mu_{2}x-\mu_{1}}{\sigma_{1}\sigma_{2}a(x)}\right)\qquad \text{for}\ x\in\mathbb{R}\,, \end{equation}$

onde , , e . $\mu_{1},\mu_{2}\in\mathbb{R}$ $\sigma_{1},\sigma_{2}>0$ $a(x)=\left(\frac{x^{2}}{\sigma_{1}^{2}}+\frac{1}{\sigma_{2}^{2}}\right)^{1/2}$ $\phi(g(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-g^{2}(x)/2}$

Eu tentei resolver para o meio sem sucesso.

distributions mathematical-statistics expected-value

— Aaron Hendrickson
fonte

na sua pergunta específica, não é uma função de densidade adequada. suponha que , e , , então para .

f (x)

$f(x)$

μ_{1} = 1

$\mu_1 =1$

μ_{2} = 0

$\mu_2=0$

σ_{j} = 1

$\sigma_j = 1$

j = 1, 2

$j=1,2$

f (x) < 0

$f(x)<0$

x < 0

$x<0$

— EliKa

@EliKa Good find. Pode haver um erro de digitação. Vou verificar e corrigir a pergunta. Dito isto, ainda estou principalmente interessado na parte "como" da pergunta, ou seja, como eu chegaria a determinar se a média existe e é finita?

— Aaron Hendrickson

Você poderia tentar delimitadora acima e abaixo por algumas funções não negativas e tal que você pode integrá-los. Se você pode integrar , sua distribuição tem uma média. Se , sua distribuição não tem significado.

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$

u (x)

$u(x)$

b (x)

$b(x)$

u (x)

$u(x)$

\int b (x) d x = \infty

$\int b(x)dx = \infty$

— Ceph

@ Ceph Essa é uma boa sugestão. Essa técnica é baseada no "teorema do aperto"?

— Aaron Hendrickson

@AaronHendrickson Idéia semelhante, mas (como eu a entendo) o teorema do aperto é um pouco diferente. Usando o ST aqui pode ter esta aparência: encontrar e que ligava (em vez de delimitadora como no meu comentário anterior) de tal forma que você pode encontrar , onde é a média da sua distribuição. Mas essa provavelmente não é uma estratégia plausível, já que seria difícil encontrar tais e . (Eles podem diferir de apenas em um conjunto de medidas 0 e, portanto, provavelmente não seria mais fácil de integrar do que .)

u (x)

$u(x)$

b (x)

$b(x)$

x f (x)

$xf(x)$

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$

\int u (x) d x = \int b (x) d x = μ

$\int u(x) dx = \int b(x) dx= \mu$

μ

$\mu$

u

$u$

b

$b$

x f (x)

$xf(x)$

x f (x)

$xf(x)$

— Ceph

Não existe uma técnica geral, mas existem alguns princípios simples. Uma é estudar o comportamento da cauda de comparando-o com funções tratáveis. $f$

Por definição, a expectativa é o limite duplo (como e variam independentemente) $y$ $z$

E_{y, z} [f] = lim_{y \to - \infty, z \to \infty} \int_{y}^{z} x f (x) d x = lim_{y \to - \infty} \int_{y}^{0} x f (x) d x + lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} x f (x) d x .

$E_{y,z}[f] = \lim_{y\to-\infty,z\to\infty}\int_y^z x f(x) dx = \lim_{y\to-\infty}\int_y^0 x f(x) dx+ \lim_{z\to\infty}\int_0^z x f(x) dx.$

O tratamento das duas integrais à direita é o mesmo, então vamos nos concentrar na positiva. Um comportamento de que garante um valor limitador é compará-lo com a potência . Suponha que é um número para o qual Isso significa que existe um e um para o qual sempre que . Podemos explorar essa desigualdade quebrando a integração nas regiões onde e e aplicando-a na segunda região: $f$ $x^{-p}$ $p$

\underset{x \to \infty}{lim inf} x^{p} f (x) > 0.

$\liminf_{x\to\infty} x^p f(x)\gt 0.$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

N > 1

$N\gt 1$

x^{p} f (x) \geq ϵ

$x^p f(x) \ge \epsilon$

x \in [N, \infty)

$x\in[N,\infty)$

x < N

$x\lt N$

x \geq N

$x \ge N$

\begin{aligned} \int_{0}^{z} x f (x) d x & = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x f (x) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (x^{p} f (x)) d x \\ \geq \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (ϵ) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \frac{ϵ}{2 - p} (z^{2 - p} - N^{2 - p}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^z x f(x) dx &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x f(x) dx \\ &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(x^p f(x)\right) dx \\ &\ge \int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(\epsilon\right) dx \\ &= \int_0^{N} x f(x) dx + \frac{\epsilon}{2-p}\left(z^{2-p} - {N}^{2-p}\right). }$

Desde que , o lado direito diverge como . Quando a integral é avaliada pelo logaritmo, $p\lt 2$ $z\to\infty$ $p=2$

\int_{N}^{z} x^{1 - 2} (ϵ) d x = ϵ (\log (z) - \log (N)),

$\int_{N}^z x^{1-2} \left(\epsilon\right) dx = \epsilon \left(\log(z) - \log(N)\right),$

que também diverge.

A análise comparável mostra que se para , então existe. Da mesma forma, podemos testar se existe algum momento de : para , a expectativa de existe quando para alguns e não existe quando para alguns . Isso aborda a "questão geral". $|x|^pf(x)\to 0$ $p\gt 2$ $E[X]$ $X$ $\alpha\gt 0$ $|X|^\alpha$ $|x|^{p+\alpha}f(x)\to 0$ $p\gt 1$ $\liminf |x|^{p+\alpha}f(x)\gt 0$ $p \le 1$

Vamos aplicar esse insight à pergunta. Por inspeção, fica claro que para grandes. Ao avaliar , podemos, portanto, descartar quaisquer termos aditivos que eventualmente serão inundados por. Assim, até uma constante diferente de zero, para $a(x)\approx |x|/\sigma_1$ $|x|$ $f$ $|x|$ $x\gt 0$

f (x) \approx \frac{μ_{1} x}{σ_{2} x^{3}} ϕ (\frac{μ_{2} x}{σ_{2} x}) = x^{- 2} \frac{μ_{1}}{σ_{2}} \exp ({(- \frac{μ_{2}}{2 σ_{2}})}^{2}) .

$f(x) \approx \frac{\mu_1 x}{\sigma_2 x^3}\phi\left(\frac{\mu_2 x}{\sigma_2 x}\right) = x^{-2}\frac{\mu_1}{\sigma_2}\exp\left(\left(-\frac{\mu_2}{2\sigma_2}\right)^2\right).$

Assim aproxima de uma constante diferente de zero. Pelo resultado anterior, a expectativa diverge. $x^2 f(x)$

Como é o menor valor de que funciona nesse argumento - passará a zero como para qualquer - é claro (e mais análise detalhada de confirmará) que a taxa de divergência é logarítmica. Ou seja, para grandese, pode ser aproximado de perto por uma combinação linear de e . $2$ $p$ $|x|^pf(x)$ $|x|\to\infty$ $p\lt 2$ $f$ $|y|$ $|z|$ $E_{y,z}[f]$ $\log(|y|)$ $\log(|z|)$

— whuber
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