Qual é a definição de uma distribuição simétrica?

Qual é a definição de uma distribuição simétrica? Alguém me disse que uma variável aleatória veio de uma distribuição simétrica se e somente se e têm a mesma distribuição. Mas acho que essa definição é parcialmente verdadeira. Porque eu posso apresentar um contra-exemplo e . Obviamente, ele tem uma distribuição simétrica, mas e têm distribuição diferente! Estou certo? Vocês já pensaram nessa questão? Qual é a definição exata de distribuição simétrica? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— shijing SI
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Quando você diz "uma distribuição é simétrica", é necessário especificar com relação a qual ponto é simétrico. No caso da distribuição normal que você apresenta, a simetria é dada em torno de

μ

$\mu$ . Nesse caso,

X - μ

$X-\mu$ e

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ têm a mesma distribuição. Em termos de densidade, isso pode ser expresso como:

f

$f$ é simétrico em torno de

μ

$\mu$ se

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ . Aliás, é bom aceitar respostas quando estiver satisfeito com uma delas.

Sim, nós dois pensamos sobre esta questão. Simétrico geralmente significa simétrico em torno de

0

$0$ e, para evitar outros contra-exemplos, a afirmação de que as distribuições são simétricas não é algo verdadeiro sobre a função de distribuição de probabilidade cumulativa . O seu "contra-exemplo" tem simetria sobre o ponto

μ \neq 0

$\mu \neq 0$ , não sobre o ponto

0

$0$ .

— usar o seguinte

@Dilip Quando uma definição depende de uma maneira de descrever alguma coisa, mas essa definição pode ser mostrada como uma propriedade intrínseca dessa coisa, não faz sentido aplicar a definição a uma forma diferente de descrição. Nesse caso, a simetria é uma propriedade de uma distribuição , mas isso não implica que todas as descrições dessa distribuição (incluindo PDF e CDF) devam ser "simétricas" da mesma maneira. Ao aplicar a simetria do PDF ao CDF, seu comentário confunde a questão em vez de esclarecê-la.

— whuber

shijing, o @Procrastinator observou que você fez muitas perguntas sem aceitar nenhuma resposta. Isso sugere que você pode não estar familiarizado com o funcionamento deste site. Para esclarecer qualquer mal-entendido, você poderia ler a parte relevante de nossas perguntas frequentes o tempo todo ? Levará apenas alguns minutos e, seguindo suas orientações, aumentará o valor do nosso site para você.

— whuber

@whuber O CDF é uma das poucas descrições nas quais a distribuição de palavras realmente ocorre no nome, e eu estava tentando esclarecer que a propriedade de simetria não se aplicava ao CDF.

— Dilip Sarwate

Resumidamente: é simétrico quando e têm a mesma distribuição para algum número real . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Mas chegar a isso de uma maneira totalmente justificada requer alguma digressão e generalizações, porque levanta muitas questões implícitas: por que essa definição de "simétrica"? Pode haver outros tipos de simetrias? Qual é a relação entre uma distribuição e suas simetrias e, inversamente, qual é a relação entre uma "simetria" e as distribuições que podem ter essa simetria?

As simetrias em questão são reflexos da linha real. Todos são da forma

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

por alguma constante . $a$

Então, suponha que tenha essa simetria por pelo menos um . Então a simetria implica $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

mostrando que é uma mediana de . Da mesma forma, se tem uma expectativa, segue-se imediatamente que . Assim, geralmente podemos definir facilmente. Mesmo se não, (e, portanto, a própria simetria) ainda é determinada exclusivamente (se é que existe). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Para ver isso, seja qualquer centro de simetria. Aplicando ambas as simetrias, vemos que é invariável sob a translação . Se , a distribuição de deve ter um período de , o que é impossível porque a probabilidade total de uma distribuição periódica é ou infinita. Assim , mostrando que é único. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

De maneira mais geral, quando é um grupo que age fielmente na linha real (e por extensão em todos os subconjuntos de Borel), poderíamos dizer que uma distribuição é "simétrica" (em relação a ) quando $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

para todos os conjuntos mensuráveis e elementos , onde denota a imagem de sob a ação de . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Como exemplo, deixe ainda ser um grupo de ordem , mas agora sua ação é tomar o recíproco de um número real (e fixar ). A distribuição lognormal padrão é simétrica em relação a esse grupo. Este exemplo pode ser entendido como uma instância de uma simetria de reflexão em que ocorreu uma re-expressão não linear das coordenadas. Isso sugere focar nas transformações que respeitam a "estrutura" da linha real. A estrutura essencial para a probabilidade deve estar relacionada aos conjuntos de Borel e à medida de Lebesgue, os quais podem ser definidos em termos de distância (euclidiana) entre dois pontos. $G$ $2$ $0$

Um mapa de preservação de distância é, por definição, uma isometria. É sabido (e fácil, embora um pouco envolvido, demonstrar) que todas as isometrias da linha real são geradas por reflexões. Por isso, quando se entende que "simétrico" significa simétrico em relação a algum grupo de isometrias , o grupo deve ser gerado por no máximo uma reflexão e vimos que a reflexão é determinada exclusivamente por qualquer distribuição simétrica em relação a ele. Nesse sentido, a análise anterior é exaustiva e justifica a terminologia usual das distribuições "simétricas".

Aliás, uma série de exemplos multivariados de distribuições invariantes sob grupos de isometrias é fornecida considerando-se distribuições "esféricas". Eles são invariantes em todas as rotações (em relação a algum centro fixo). Eles generalizam o caso unidimensional: as "rotações" da linha real são apenas os reflexos.

Por fim, vale ressaltar que uma construção padrão - média sobre o grupo - permite produzir cargas de distribuições simétricas. No caso da reta real, seja gerado pela reflexão sobre um ponto , de modo que consista no elemento de identidade e nessa reflexão, . Deixe- seja qualquer distribuição. Defina a distribuição definindo $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

para todos os conjuntos de Borel . Isso é manifestamente simétrico e é fácil verificar se continua sendo uma distribuição (todas as probabilidades permanecem não-negativas e a probabilidade total é ). $E$ $1$

Gama

Ilustrando o processo de média do grupo, o PDF de uma distribuição gama simétrica (centralizada em ) é mostrado em ouro. O Gamma original está em azul e seu reflexo está em vermelho. $a=2$

— whuber
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(+1) Gostaria de acrescentar que, no cenário multivariado, a definição de simetria não é única. Neste livro, existem 8 definições possíveis de distribuições multivariadas simétricas.

@ Procrastinator Estou curioso sobre o que você pode dizer com "não é único". AFAIK, qualquer coisa que justifique o nome "simetria" finalmente se refere a uma ação de grupo em um espaço. Seria interessante ver que tipos diferentes de ações os estatísticos consideraram úteis. Como esse livro está esgotado e não está disponível na Web, você poderia dar um exemplo rápido de dois tipos de simetria realmente diferentes considerados nesse livro?

— whuber

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Procrastinator Obrigado. Observe que os dois exemplos que você oferece são casos especiais da definição geral que forneci: a simetria central gera um grupo de isometrias de dois elementos e as simetrias esféricas também são um subgrupo de todas as isometrias. A "simetria elíptica" no link é uma simetria esférica após uma transformação afim e, portanto, exemplifica o fenômeno que apontei com o exemplo lognormal. As "simetrias angulares" formam novamente um grupo de isometrias. A "simetria de meio espaço" [sic] não é uma simetria, mas permite partidas discretas a partir delas: isso é novo.

— whuber

$X \to X'$ $P(X) = P(X')$

$X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— Michael Hoffman
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