A distribuição de Poisson é estável e existem fórmulas de inversão para o MGF?

Primeiro, tenho uma pergunta sobre se a distribuição de Poisson é "estável" ou não. Muito ingênuo (e não tenho muita certeza sobre distribuições "estáveis"), calculei a distribuição de uma combinação linear de RVs distribuídos por Poisson, usando o produto do MGF. Parece que eu recebo outro Poisson, com parâmetro igual à combinação linear dos parâmetros dos RVs individuais. Então concluo que Poisson é "estável". o que estou perdendo?

Segundo, existem fórmulas de inversão para o MGF como existem para a função característica?

distributions poisson-distribution mgf

— Frank
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Está fechado em somas (independentes) , mas não em combinações lineares arbitrárias. Se você incluir o seu trabalho, suspeito que você acabará vendo o porquê no processo; e, se não, alguém será capaz de apontar isso. Sim, existem alguns análogos de inversão ao das funções características. O que você sabe sobre a transformação de Laplace e a integração do contorno de Bromwich?

— cardeal

OK, vou voltar para a prancheta. Eu tenho o MGF do i-ésimo Poisson como: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Portanto, o produto de n Poisson MGF's me fornece: exp (soma (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) e eu pego a nova lambda = sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Agora, tenho medo de parecer idiota por cometer um erro óbvio. - Conheço a integração de transformadas e contornos de Laplace em geral, mas não a integração de contornos do Bromwish. - Você recomendaria trabalhar com os CFs em vez dos MGFs em geral? Parece mais poderoso.

— 23412 Frank

O que é no seu comentário? Além disso, envolva seu math-LaTeX com cifrões para fazê-lo funcionar (usar \ exp para fazer o "exp" parecer correto e \ lambda para criar , \ sum for etc.)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

Sim, eu não sou muito bom no LaTex, mas aqui vai. Portanto, minha combinação linear de RVs é: , e o produto de seus MGFs é: , se eu estiver correto, se os RVs forem distribuídos como . Eu tinha usado o mesmo t para todos os RVs, mas preciso usar .

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— 23412 Frank

O erro é que o MGF de é e não

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

Respostas:

Combinações lineares de variáveis aleatórias de Poisson

Como você calculou, a função geradora de momento da distribuição Poisson com taxa é $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

Agora, vamos nos concentrar em uma combinação linear de variáveis aleatórias de Poisson independentes e . Vamos . Então, $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

Portanto, se tiver taxa e tiver taxa , obteremos e isso geralmente não pode ser escrito no formato para alguns menos que . $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Inversão de funções geradoras de momento

Se a função geradora de momento existe em uma vizinhança de zero, ela também existe como uma função de valor complexo em uma faixa infinita em torno de zero. Isso permite que a inversão pela integração do contorno entre em ação em muitos casos. De fato, a transformada de Laplace de uma variável aleatória não negativa é uma ferramenta comum na teoria do processo estocástico, particularmente para analisar os tempos de parada. Observe que para reais com valor . Você deve provar como exercício que a transformação Laplace sempre existe para para variáveis aleatórias não-negativas. $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

A inversão pode então ser realizada através da integral de Bromwich ou da fórmula de pós-inversão . Uma interpretação probabilística deste último pode ser encontrada como um exercício em vários textos clássicos de probabilidade.

Embora não esteja diretamente relacionado, você também pode estar interessado na seguinte nota.

JH Curtiss (1942), Uma nota sobre a teoria das funções geradoras de momento , Ann. Matemática. Estado. vol. 13, n. 4, pp. 430–433.

A teoria associada é mais comumente desenvolvida para funções características, pois são totalmente gerais: elas existem para todas as distribuições sem restrições de suporte ou momento.

— cardeal
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(+1) A fórmula de inversão é puramente teórica ou é realmente usada algumas vezes?

— Gui11aume

@ gui11aume: É usado em locais; mas os exemplos que você normalmente encontra em um texto geralmente são precisamente os exemplos dos quais você não precisa. :)

— cardeal

Então, presumivelmente é mais fácil trabalhar com os CFs do que com os MGFs? Os MGFs nem sempre existem, certo? Por que se preocupar com eles?

— 23412 Frank

@Frank: Pedagogicamente, eles são mais fáceis de apresentar aos alunos que conhecem cálculo, mas têm pouco ou nenhum conhecimento sobre variáveis complexas. Quando existem, eles têm propriedades totalmente análogas às dos CFs. Eles desempenham papéis importantes em algumas partes da teoria das probabilidades e estatística teórica, por exemplo, grandes desvios e inclinação exponencial.

— cardeal

@ Frank: Estas são as distribuições Levy stable e a única com MGF é a distribuição normal. De fato, os CFs são a ferramenta para esse problema; a forma possível do CF é conhecida por todas essas distribuições, mas os PDFs correspondentes em formato fechado são conhecidos apenas em algumas poucas instâncias.

α

$\alpha$

— cardeal

As distribuições de Poisson são estáveis por soma. Eles não são trivialmente estáveis por combinação linear porque você pode acabar com valores não-inteiros. Por exemplo, se é Poisson, não é trivialmente Poisson. $X$ $X/2$

Eu não estou ciente das fórmulas de inversão para MGF (mas @ cardinal parece ser).

— gui11aume
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(+1) Porque gosto de simples provas ilustrativas e contra-exemplos que imediatamente trazem à tona o cerne da questão.

— cardeal

Eu tenho uma pergunta sobre terminologia. Nas estatísticas que estudei, distribuições estáveis eram os limites de distribuição que atendiam a uma condição de convergência chamada lei estável. Estas são distribuições não normais contínuas. São uma distribuição para os limites de uma média Z normalizada, mas o teorema do limite central não se aplica a Z devido ao comportamento da cauda da distribuição da população. Na verdade, o limite central teorema pode pertencer às leis estáveis se um determinado alfa parâmetro = 2.

— Michael R. Chernick

O que você está chamando de estável aqui é mais próximo em somas que me parecem mais com o termo infinitamente divisível. Em que campos o termo estável é usado para isso? Está sendo usado em probabilidade e estatística?

— Michael R. Chernick

(+1) De acordo com a Wikipedia, distribuições "estáveis" são tais que tem a mesma distribuição que , o que não é o caso de Poisson. Eu acho que o único termo adequado (me corrija se eu estiver errado) seria "A família Poisson é estável por soma". Em geral, isso não significa que a distribuição seja infinitamente divisível (pense no binômio), mas o Poisson tem essa propriedade.

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$

— gui11aume